vuexでFirebaseの匿名認証を実装したので、サンプルとして投稿してみます。

最終的に、「$store.getters.uid」で、
いつでもどこでもuidを出せるようにすることが目的です。

環境・VueCLI3.0

store.js

state: {
    login_user: null
},
mutations: {
    setLoginUser (state, user) {
      state.login_user = user
    },
    deleteLoginUser (state) {
      state.login_user = null
    },
},

actions: {
    setLoginUser ( { commit }, user) {
      commit('setLoginUser', user)
    },
    deleteLoginUser ( { commit } ){
      commit('deleteLoginUser')
    },
    logout(){
      firebase.auth().signOut()
    },
    login(){
      firebase.auth().signInAnonymously().catch(function(error) {
        // Handle Errors here.
        var errorCode = error.code;
        var errorMessage = error.message;
        // ...
      });
    },
},

getters: {
    uid: state => state.login_user ? state.login_user.uid : null
}

app.vue

<template>
    <v-icon @click="login">mdi-square-edit-outline</v-icon>
</template>

<script>
import firebase from 'firebase'
import { mapActions } from 'vuex'
import { mapGetters } from 'vuex'

export default {
  created() {
    firebase.auth().onAuthStateChanged(user => {
      if (user) {
        this.setLoginUser(user)
      } else {
        this.deleteLoginUser()
      }
    })
  },
  methods: {
    ...mapActions(['login','setLoginUser','logout','deleteLoginUser']),
    ...mapGetters(['uid'])
  },
}
</script>

ほぼコピペで使えると思います！

あとは、Firebaseのコンソールでログイン方法の有効にすれば認証してくれます！

若干解説をすると、

actionで定義したloginを着火させると、

app.vueのcreatedにある　firebase.auth().onAuthStateChanged

が発動してuserオブジェクトからデータを取得し、ミューテーション等を介して最終的にgettersでuidをどこでも取得できるようになります。

なぜ発動するのかというと、公式に「発動するよ☆」って書いてあるので発動します（体育会系の思考）

以上です！

参考・https://firebase.google.com/docs/auth/web/anonymous-auth?hl=ja