前回の投稿で楕円曲線（剰余演算）を行って以下の2つを求めました（無限遠点を含む）。

前回の投稿では、楕円曲線$E: y^2 + x^3 + ax + b \pmod p $で$a = 0, b = 17, p = 13$の時は両方とも$21$で一致しました。

今回は$b, p$が他の値の時はどうか調べてみました（$a=0$の場合のみ）。
$(2)$の網羅する点に関して始める整数点Pを変えて最大値を取りました。

以下の表で$dとp$を変えてその結果を$(1)/(2)$で示しています

以下のことが見て取れます。

多くの場合$(1)=(2)$となっている、特に$(1)=(2)=p+1$になる場合（$p=23,29,41,47,...$）は$b$の値に関係なく$(1)=(2)$となる。（$p=b$の時をのぞく）
赤字の$p=b$の時は$(1)=(2)+1$。これは$(x,y)=(0,0)$が解となりこれが孤立しているから。
それ以外のケースではかなりランダムに$(1)>(2)$となっている。ただ$(2)$は$(1)$の約数になっている。

残念ながらその規則性は分かりませんでした。楕円曲線でつかう$b, p$はこの辺を考慮して選ぶ必要がありますね。

ちなみにビットコインで使われているsecp256k1では以下の値が使われているそうです。

p = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F
a = 0
b = 7

（開発環境：Google Colab）