楕円曲線の演算を剰余（有限体）で行う（その2）

楕円曲線（剰余演算）上の整数点の数とnPで網羅する点の数

前回の投稿で楕円曲線（剰余演算）を行って以下の2つを求めました（無限遠点を含む）。

• 整数点の数 $\cdots (1)$
• 整数点Pから初めてnPで網羅する点の数（位数） $\cdots (2)$

前回の投稿では、楕円曲線$E: y^2 + x^3 + ax + b \pmod p $で$a = 0, b = 17, p = 13$の時は両方とも$21$で一致しました。

今回は$b, p$が他の値の時はどうか調べてみました（$a=0$の場合のみ）。
$(2)$の網羅する点に関して始める整数点Pを変えて最大値を取りました。

以下の表で$dとp$を変えてその結果を$(1)/(2)$で示しています

	b=7	b=11	b=13	b=17	b=19	b=23	b=29	b=31
p=11	12/12	12/11	12/12	12/12	12/12	12/12	12/12	12/12
p=13	7/7	19/19	14/13	21/21	7/7	9/3	9/3	16/4
p=17	18/18	18/18	18/18	18/17	18/18	18/18	18/18	18/18
p=19	12/6	12/6	19/19	27/9	20/19	21/21	19/19	28/14
p=23	24/24	24/24	24/24	24/24	24/24	24/23	24/24	24/24
p=29	30/30	30/30	30/30	30/30	30/30	30/30	30/29	30/30
p=31	21/21	25/5	25/5	43/43	21/21	28/14	28/14	32/31
p=37	39/39	48/12	37/37	49/49	37/37	28/14	28/14	28/14
p=41	42/42	42/42	42/42	42/42	42/42	42/42	42/42	42/42
p=43	31/31	36/6	57/57	57/57	49/7	39/39	31/31	39/39
p=47	48/48	48/48	48/48	48/48	48/48	48/48	48/48	48/48
p=53	54/54	54/54	54/54	54/54	54/54	54/54	54/54	54/54
p=59	60/60	60/60	60/60	60/60	60/60	60/60	60/60	60/60
p=61	61/61	76/38	63/21	49/49	75/15	76/38	49/49	49/49
p=67	79/79	79/79	73/73	63/21	63/21	63/21	57/57	79/79
p=71	72/72	72/72	72/72	72/72	72/72	72/72	72/72	72/72
p=73	64/8	91/91	67/67	64/8	81/9	57/57	67/67	67/67
p=79	67/67	93/93	63/21	76/38	93/93	93/93	67/67	93/93
p=83	84/84	84/84	84/84	84/84	84/84	84/84	84/84	84/84
p=89	90/90	90/90	90/90	90/90	90/90	90/90	90/90	90/90
p=97	79/79	93/93	79/79	103/103	112/28	103/103	79/79	117/39

整数点の数とnP倍で網羅する点の数の考察

以下のことが見て取れます。

• 多くの場合$(1)=(2)$となっている、特に$(1)=(2)=p+1$になる場合（$p=23,29,41,47,...$）は$b$の値に関係なく$(1)=(2)$となる。（$p=b$の時をのぞく）
• 赤字の$p=b$の時は$(1)=(2)+1$。これは$(x,y)=(0,0)$が解となりこれが孤立しているから。
• それ以外のケースではかなりランダムに$(1)>(2)$となっている。ただ$(2)$は$(1)$の約数になっている。

残念ながらその規則性は分かりませんでした。楕円曲線でつかう$b, p$はこの辺を考慮して選ぶ必要がありますね。

ちなみにビットコインで使われているsecp256k1では以下の値が使われているそうです。

p = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F
a = 0
b = 7

（開発環境：Google Colab）