GitHub APIのレスポンスが 403 Forbidden になったら

User-Agentヘッダーは設定していますか？？
https://docs.github.com/en/rest/overview/resources-in-the-rest-api#user-agent-required

コード例

以下はissueを作成するコードです。
認証はパーソナルアクセストークンで行います。

PersonalAccessToken, organization, repositoryはご自身のものに置き換えてください。

github.ts

import https from 'https'

const createIssue = async (title: string, body: string, labels: string[]): Promise<number> => {
  return new Promise((resolve, reject) => {
    const req = https.request({
      method: 'POST',
      headers: {
        'User-Agent': 'YourApp', // これ大事
        'Accept': 'application/vnd.github.v3+json',
        'Content-Type': 'application/json',
        'Authorization': `token ${PersonalAccessToken}`
      },
      host: 'api.github.com',
      path: `/repos/${organization}/${repository}/issues`,
    }, (response) => {
      let res: any = ''

      response.on('data', (chunk) => {
        res += chunk
      })

      response.on('end', () => {
        res = JSON.parse(res)
        resolve(res.id)
      })

      response.on('error', (err: Error) => reject(err))
    })
    req.write(buildPayload(title, body, labels))

    req.on('error', (err: Error) => reject(err))
    req.end()
  })
}

const buildPayload = (title: string, body: string, labels: string[]): string => {
  return JSON.stringify({
    title, body, labels
  })
}

まとめ

全ての原因がこれに当てはまるかは分かりませんが、私はこれで解決できました。
（@octokit/rest.jsなどを使った方が早いかもしれませんね）