「ダウンロード」メニューの CSV (Shift JIS) を選ぶとダイアログが表示され、ダウンロードリンクをクリックすると SJIS 形式で DL できる。
動作確認は Chrome でしかしてない。

download.gs:

function onOpen() {
  const spreadsheet = SpreadsheetApp.getActiveSpreadsheet();
  const entries = [{
    name : 'CSV (Shift JIS)',
    functionName : 'downloadSJIS_CSV'
  }];
  spreadsheet.addMenu('ダウンロード', entries);
}

function downloadSJIS_CSV() {
  // 開いてるシートのデータを取得
  const sheet = SpreadsheetApp.getActiveSheet();
  const sheetName = sheet.getName();
  const values = sheet.getDataRange().getValues();

  // 文字列のままテンプレートに渡して html を表示
  const template = HtmlService.createTemplateFromFile('download_dialog');
  template.values = JSON.stringify(values)
  template.name = sheetName;
  SpreadsheetApp.getUi().showModalDialog(template.evaluate(), 'CSV (Shift JIS)');
}

download_dialog.html:

<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <base target="_top">
  </head>
  <body>
    <a id="download" href="#" download="<?= name ?>.csv" target="_blank">ダウンロード</a>
    <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/PapaParse/4.3.7/papaparse.js" integrity="sha256-QvijOmxLUGxTuoxamQikzFRUJ5hFoDOG71tl2M+LULw=" crossorigin="anonymous"></script>
    <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/encoding-japanese/1.0.28/encoding.min.js" integrity="sha256-vvOjQJ89zzmmngTqmXugSMR1JFKbDZuOxHMP3Ia8EdA=" crossorigin="anonymous"></script>
    <script>
      const values = JSON.parse(<?= values ?>)
      
      // CSV 文字列にする
      const csv = Papa.unparse(values)

      // encoding.js を使って csv 文字列を sjis array に変換
      const sjisCodeArray = Encoding.convert(csv, {
        from: 'UNICODE',
        to: 'SJIS',
        type: 'array'
      })

      // sjis array を blob に変換
      const uint8Array = new Uint8Array(sjisCodeArray)
      const blob = new Blob([ uint8Array ], { type: 'text/csv' })

      // URL を a タグにセット
      window.URL = window.URL || window.webkitURL
      document.getElementById("download").href = window.URL.createObjectURL(blob)
    </script>
  </body>
</html>

GAS タグついてるけど全然 GAS 書いてない

GAS でやってるのはシートの二次元配列を JSON にしてテンプレートに渡すだけで、あとの処理はダイアログで開いた HTML でクライアント側にやらせちゃってる。
自分で言うのもなんだけど、なかなかおもしろいアプローチで他にも使える場面あるんじゃないかと思うし、きっちりメンテされてる JS のライブラリをそのまんま使えるので筋もいいと思う。