結論

fish-shellではPATH変数は自動的に設定されません。手動で設定します。

set -U fish_user_paths $fish_user_paths $HOME/.cargo/bin

背景

Rustは標準で以下のインストール手順を用意しています。

curl https://sh.rustup.rs -sSf | sh

これでインストーラーのダウンロードから実行までやってくれます。

インストールされた実行ファイルは~/.cargo/bin/に入ります。

.profileに次の行が追加されます。

export PATH="$HOME/.cargo/bin:$PATH"

.profileはログイン時に実行されるため、次回ログイン以降にPATH変数の設定が有効になります。¹

fish-shellは.profileを読みません。
また、PATHを設定するコマンドがbashとは違います。²

一時的に設定する場合は

set -gx PATH "$HOME/.cargo/bin" $PATH;

永続的に設定する場合は

set -U fish_user_paths $fish_user_paths $HOME/.cargo/bin

です。

一応、issueはあります。
fish-shellは、bashに比べればマイナーなシェルなので対応の優先順位は低いと思います。