1.はじめに

2.定義

微分演算子についても定義していきます。

微分は円で表現します。gradはスカラーからベクトルを作り出す操作なので、下のように表します。

divはベクトルからスカラーを作り出す微分演算子なので、下のように表すことにします。

ただし、上図の右辺はA・∇ではありません。あくまで微分する対象を円の中に入れることに注意してください。

(A・∇)Bのようなものを表したいときは、下のようにします。

また、演算子∇・∇は、ラプラシアンとよばれ、Δで表されます。

ベクトルのラプラシアンは、各成分についてラプラシアンを取ったものとします。

rotはベクトルからベクトルを作り出す微分演算子なので、下のように表すことにします。

外積の入れ替え操作に似たようなことができますが、ここでも、右辺の式はA×∇ではないことに気をつけてください。右辺のままでは意味が通らないので-1倍して回転とみなすことがよくあります。

微分を表す円の中に2つの要素が入っている時は、積の微分公式:(fg)' = f'g + fg'に対応する操作を行うことができます。例えばスカラーであれば、

が成り立ちます。スカラー以外でも同様のことができます。

物理の文脈では普通は全ての関数がC^2級であることを仮定するので、これに対応したことを行うことができます。つまり、円が二重になっているときは、内側の円と外側の円を入れ替えることができます。具体例は後述します。

まずは、Leibniz則を用いたものを示します。

3-1.で紹介したLeibniz則を用いて示すことができます。

4-1.と全く同様に求めることができます。

ポインティングベクトルを導入するときなどに現れます。
まずは、Leibniz則より展開します。展開後の第1項はBの回転を取るように外積の入れ替え操作をするので、-1倍されます。

1つめの等号では、前編で紹介した公式を用いています。その後、Leibniz則で展開します。

1つめの等号ではLeibniz則で展開しています。展開後の式の解釈が難しいので、2つめの等号で前編で紹介したベクトル三重積の公式を逆向きに使います。さらに、第2項では∇×AとBの外積を取る順番を変えて、第4項ではBの回転を取るように外積の入れ替え操作をします。

ここからは、2階微分を含むものについて取り上げます。

静磁場のベクトルポテンシャルを考える時に現れます。
1つめの等号では公式を用いて分解し、第1項について微分の順序の入れ替え操作として、円の入れ替えを行います。

静電ポテンシャルを導入するときに現れます。
1つめの等号で、外積の入れ替え操作をします。2つめの等号では円の入れ替えを行います。右辺が左辺の-1倍であることがわかるので、0であることが示されます。

頻出の公式は網羅したつもりですがこれ以外のものも同様に考えて示すことができると思います。
公式暗記に煩わされることのない電磁気ライフを！