Henon写像について(カオス)

非線形数理モデルであるHenon写像を紹介します。
以前に紹介したロジスティック写像と同じ低次元離散力学系です。
ロジスティック写像に関する記事のリンクを貼っておきます、もしよければ見て行ってください。
関連記事1： ロジスティック写像の紹介
関連記事2： 初期値鋭敏性について(ロジスティック写像)

エノン写像は以下のような連立方程式, 漸化式で表されます。

$x_{n+1} = 1- ax_{n}^2 + y_{n}$
$y_{n+1} = bx_{n}$

$a,b$はエノン写像のパラメータになります。

$x_{0}とy_{0}$は任意に与えて、実際にエノン写像の動きを見てみます。
(以下の図は、$x_{0}=y_{0}=1.1,　a=1.4, b=0.3$としています。)


$x_{n}, y_{n}$どちらも不規則に動いているのがわかります。$\textbf{カオス}$と呼ばれる現象が確認できます。

次に、$x_{0}=y_{0}=1.1,　a=1.0, b=0.1$に変えて$x_{n}, y_{n}$の動きを見てみます。先ほどとは違った動きをします。

先ほどの非周期的な動きをするのではなく、途中から周期的に動いているのがわかります。

次回は、カオス力学系の特徴の一つである"初期値鋭敏性"について紹介したいと思います。
続編： 初期値鋭敏性(エノン写像)

以下今回使用したコードを記載しています。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Henon写像のデータを生成する関数
# 引数a,bがHenon写像のパラメータ,引数nは生成したいデータ数(時系列長)
def Henon(a,b,n):
    x = np.zeros(n)
    y = np.zeros(n)
    
    x[0] = 1.1
    y[0] = 1.1
    for i in range(n-1):
        y[i+1] = b*x[i]
        x[i+1] = 1 - a*(x[i])**2 + x[i]
        
    return x, y

#　Henon写像を可視化
x,y = Henon(1.4,0.3,60)
#x,y = Henon(1.0,0.1,60)

# xをプロット(以下のコードのxをyに変えればyをプロット)
plt.plot(x,marker="o")
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("x")
plt.show()