こんにちは｜こんばんは。カエルのアイコンで活動しております @kyamaz 
です。
はじめに
以前ののエントリ『ベイカー・ヘーグナー・スタークの定理（ご紹介）』に「ほとんど整数」という種類の数があることを紹介しました。ほとんど整数があるなら「ほとんど有理数」というものはあるのだろうか？という疑問が湧きます。
調べてみると「ほとんど有理数」という種類の数が定義されています。これには名前がついていて『リウヴィル数』と呼ばれる数だそうです。
本稿では、次のWikipedia等にもある情報ではありますが、この「ほとんど有理数」について軽くご紹介します。
数学ポエムとしてお付き合いください。
リウヴィル数
リウヴィル数の定義を記載しておきましょう。
- リウヴィル数（リュービル数）
-
任意の正の整数 $n$ に対して，
$\displaystyle 0 \lt \Big| \alpha - \frac{a}{b} \Big| \lt \frac{1}{b^{n}} $
を満たす正の整数 $a, b \,(b \gt 1)$ が少なくとも1つ存在するとき，これを満たす実数 $\alpha$ をリウヴィル数（リュービル数）と言う．
マスオさんらが運営されているサイトに記事があり、リウヴィル数の定義や『リウヴィル数が無理数である』ことの証明が解説されております。より数学的な内容に興味がある方はこちらも参考にしてください。
リウヴィル数の特徴として『リウヴィル数は超越数である』ことが分かっています。数学の話題が豊富に記載のあるせきゅーんさんのブログ記事『リュービル数』にこの証明の掲載があり、興味のある方は是非のぞいてみてください。
リウヴィルの定理とリウヴィルの定数
リウヴィルの定理は、代数的無理数を判定するための条件が示されております。この条件にあてはまらない数は「超越数」であることが示せることになります。リウヴィルは次の『リウヴィルの定数』1を発見し、リウヴィルの定理を満たさないことを示しました。
$$ \ell = \sum _{k=1} ^{\infty} 10 ^ { -k!}
= 0.11000100000000000000000100000000000000000000000000000 \dots $$
おわりに
リウヴィル数の特徴
Wikipediaによると、超越数であることのほかにも、次のような特徴があるそうです。
- リウヴィル数はマーラーの分類2で U 数に属する．
- $0$ でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる．
- リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は $0$ である．
本稿では深く入ってご紹介することはしませんが、数学的にも魅力的な概念が登場します。興味にあわせて、突っ込んでみるのも面白そうです。
ご一読いただきまして有り難うございます。
（●）（●） Happy Hacking!
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マーラーの分類とは、複素数を分類する方法です。 ↩