ジェットコースターは首が折れないように設計しましょう ～ 複合曲線の連続性

ジェットコースターがカーブを走行中、乗客は遠心力による横Gに対抗するため、首に力を入れます。もし線路の設計が不適切だと、カーブを抜ける際の横Gの変化が急激なため、乗客は力を抜くのが追いつかず、反動で首が折れてしまいます。したがい、ジェットコースターの線路は横Gの変化が急激にならないよう「滑らかな」形状でなければなりません。
ところが、見た目で滑らかなようであっても、用途にみあうだけの十分な滑らかさになっていない場合があり得ます。連続性について正しく理解しておく必要があります。

連続性の定義

複数の曲線から成る複合曲線では、接合点での幾何学的な連続性が定義されます。

連続性	接合点	図形例
$G^0$	$x$、$y$が一致
$G^1$	$\frac{dy}{dx}$、$\frac{dx}{dy}$が一致
$G^2$	$\frac{d^2y}{dx^2}$、$\frac{d^2x}{dy^2}$が一致

これに加えて、ベジェ曲線などのパラメトリック曲線から成る複合曲線では、接合点でのパラメトリックな連続性が定義されます。以下で$t$はパラメトリック変数（パラメータ）です。

連続性	接合点	図形例
$C^0$	$x$、$y$が一致
$C^1$	$\frac{dy}{dt}$、$\frac{dx}{dt}$が一致
$C^2$	$\frac{d^2y}{dt^2}$、$\frac{d^2x}{dt^2}$が一致

以下は上記図形例の、接合点前後の$x$についての1次微分$\frac{dy}{dx}$と2次微分$\frac{d^2y}{dx^2}$のグラフです。
各グラフの横軸は$t$です。このため、$\frac{dy}{dx}$のグラフが滑らかな形状なのに$\frac{d^2y}{dx^2}$のグラフが不連続になる場合があります。

連続性
$G^1$
$G^2$
$C^1$
$C^2$

定義の通り、$G^1$では1次微分のみ、$G^2$では1次微分も2次微分も連続になっています。
また、$C^1$では$G^1$同様に1次微分のみ、$C^2$では$G^2$同様に1次微分も2次微分も連続になっています。これは$C^1$は$G^1$の特殊な場合、$C^2$は$G^2$の特殊な場合であるためです。（あとで説明します）

以下は上記図形例の、接合点前後の$t$についての1次微分$\frac{dy}{dt}$と2次微分$\frac{d^2y}{dt^2}$のグラフです。

連続性
$G^1$
$G^2$
$C^1$
$C^2$

定義の通り、$C^1$では1次微分のみ、$C^2$では1次微分も2次微分も連続になっています。
一方で、$G^1$や$G^2$ではいずれも不連続です。

求め方

2つの3次ベジェ曲線を、所定の連続性で接続する方法を検討します。

幾何学的連続性

ベジェ曲線を$y=f(x)$の形の関数で表現することは通常はできないので、$\frac{dy}{dx}$などを数式によって求めることはできません。（※上のグラフで$\frac{dy}{dx}$などは折線近似で求めました）
そこでパラメトリック曲線の幾何学的連続性についてのBarskyとDeRoseの定理を利用します。

• $g^{(1)}(0)=\beta_1 f^{(1)}(1)$ であれば$G^1$連続
• さらに $g^{(2)}(0)=\beta_1^2 f^{(2)}(1)+\beta_2 f^{(1)}(1)$ であれば$G^2$連続

ここで$g^{(1)}(0)$などとあるのは、パラメトリック変数についての微分なので、容易に求めることができます。なお$\beta_1>0$、$\beta_2$は任意の実数です。

$[\boldsymbol{P}_0,\boldsymbol{P}_1,\boldsymbol{P}_2,\boldsymbol{P}_3]$によるベジェ曲線を$\boldsymbol{l}(u)$、$[\boldsymbol{P}_3,\boldsymbol{P}_4,\boldsymbol{P}_5,\boldsymbol{P}_6]$によるベジェ曲線を$\boldsymbol{r}(t)$とします。ベジェ曲線の行列形式で；

\boldsymbol{l}(u)=
\begin{bmatrix}
u^3 & u^2 & u & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 3 & -3 & 1 \\
3 & -6 & 3 & 0 \\
-3 & 3 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{P}_0 \\
\boldsymbol{P}_1 \\
\boldsymbol{P}_2 \\
\boldsymbol{P}_3
\end{bmatrix}

\boldsymbol{r}(t)=
\begin{bmatrix}
t^3 & t^2 & t & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 3 & -3 & 1 \\
3 & -6 & 3 & 0 \\
-3 & 3 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{P}_3 \\
\boldsymbol{P}_4 \\
\boldsymbol{P}_5 \\
\boldsymbol{P}_6
\end{bmatrix}

$\boldsymbol{l}(u)$の終点（$u=1$）と、$\boldsymbol{r}(t)$の始点（$t=0$）の1次微分は；

\boldsymbol{l}^{(1)}(1)=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -3 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{P}_0 \\
\boldsymbol{P}_1 \\
\boldsymbol{P}_2 \\
\boldsymbol{P}_3
\end{bmatrix}
,\quad
\boldsymbol{r}^{(1)}(0)=
\begin{bmatrix}
-3 & 3 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{P}_3 \\
\boldsymbol{P}_4 \\
\boldsymbol{P}_5 \\
\boldsymbol{P}_6
\end{bmatrix}

2次微分は；

\boldsymbol{l}^{(2)}(1)=
\begin{bmatrix}
0 & 6 & -12 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{P}_0 \\
\boldsymbol{P}_1 \\
\boldsymbol{P}_2 \\
\boldsymbol{P}_3
\end{bmatrix}
,\quad
\boldsymbol{r}^{(2)}(0)=
\begin{bmatrix}
6 & -12 & 6 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{P}_3 \\
\boldsymbol{P}_4 \\
\boldsymbol{P}_5 \\
\boldsymbol{P}_6
\end{bmatrix}

これらを定理にあてはめます。
$G^1$連続については、$\boldsymbol{P}_4$を可変、他を固定とする場合；
　$\boldsymbol{P}_4=\boldsymbol{P}_3+\beta_1(\boldsymbol{P}_3-\boldsymbol{P}_2)$
$G^2$連続については、$\boldsymbol{P}_4$と$\boldsymbol{P}_5$を可変、他を固定とする場合；
　$\boldsymbol{P}_4=\boldsymbol{P}_3+\beta_1(\boldsymbol{P}_3-\boldsymbol{P}_2)$
　$\boldsymbol{P}_5=\boldsymbol{P}_3+(2\beta_1+\beta_1^2+\frac{1}{2}\beta_2)(\boldsymbol{P}_3-\boldsymbol{P}_2)+\beta_1^2(\boldsymbol{P}_1-\boldsymbol{P}_2)$

なお、上記図形例は$\beta_1=0.6$、$\beta_2=1$として作図しました。

パラメトリック連続性

$\boldsymbol{l}(u)$の終点（$u=1$）と、$\boldsymbol{r}(t)$の始点（$t=0$）の1次微分が一致、すなわち；
　$\boldsymbol{l}^{(1)}(1)=\boldsymbol{r}^{(1)}(0)$
であれば$C^1$連続です。
$\boldsymbol{P}_4$を可変、他を固定とする場合；
　$\boldsymbol{P}_4=2\boldsymbol{P}_3-\boldsymbol{P}_2$
です。
なお、この式は$G^1$連続の条件で$\beta_1=1$とした場合と一致します。つまり$C^1$連続は$G^1$連続の特殊な場合ととらえることができます。

2次微分まで一致、すなわち；
　$\boldsymbol{l}^{(1)}(1)=\boldsymbol{r}^{(1)}(0)$
　$\boldsymbol{l}^{(2)}(1)=\boldsymbol{r}^{(2)}(0)$
であれば$C^2$連続です。
$\boldsymbol{P}_4$と$\boldsymbol{P}_5$を可変、他を固定とする場合；
　$\boldsymbol{P}_4=2\boldsymbol{P}_3-\boldsymbol{P}_2$
　$\boldsymbol{P}_5=\boldsymbol{P}_1-4\boldsymbol{P}_2+4\boldsymbol{P}_3$
です。
なお、この式は$G^2$連続の条件で$\beta_1=1$、$\beta_2=0$とした場合と一致します。つまり$C^2$連続は$G^2$連続の特殊な場合ととらえることができます。

作図

• $G^1$連続は、$\boldsymbol{P}_2$、$\boldsymbol{P}_3$、$\boldsymbol{P}_4$を直線上に配置すれば良いので視覚的なアプローチで作図できます。
• $G^2$連続は、座標を計算しなければならずやっかいですが、一部のCADツールには「G2フィレット」などの名称で、$G^2$連続になるよう制御点の位置を自動で調節してくれる機能が備わっているようです。
• $C^1$連続は、$\boldsymbol{P}_2$、$\boldsymbol{P}_3$、$\boldsymbol{P}_4$を直線上かつ等間隔に配置すれば作図できます。
  Catmull-Romスプライン曲線は$C^1$連続なので、これを使う手もあります。
• $C^2$連続は、$\boldsymbol{P}_4$と$\boldsymbol{P}_5$の式から $2\boldsymbol{P}_2-\boldsymbol{P}_1=2\boldsymbol{P}_4-\boldsymbol{P}_5$ を得るので、以下の図のように作図することができます。
  
  B-スプライン曲線は$C^2$連続なので、これを使う手もあります。ただし制御点を通らないので、用途によっては使いづらいかもしれません。

（念のため）遠心力との関係

速度が一定の場合、遠心力は曲率に比例します。（$F=mv^2\kappa$）
関数$y=f(x)$の曲率は1次微分$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$と2次微分$f''(x)=\frac{d^2f(x)}{dx^2}$から、以下により求めることができます。

\kappa=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{(3/2)}}

したがい、$G^2$以上の連続性であれば遠心力は連続になると考えられます。
なお、曲率や遠心力はパラメトリック変数についての微分から計算することもできますが、同じ結果になります。

実際に、上記図形例の遠心力を求めてみると以下の通り、$G^2$や$C^2$では連続です。

連続性
$G^1$
$G^2$
$C^1$
$C^2$

参考文献

1. Kimi Yoshino
   Study Says Thrill Ride Injuries on the Rise
   Science & Medicine, Los Angeles Times, Feb. 4, 2002
   https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2002-feb-04-me-brain1-story.html

2. Brian A. Barsky, Tony D. DeRose
   Geometric Continuity of Parametric Curves
   Technical Report No. UCB/CSD 84/205, October 1984
   https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/1984/Archive/CSD-84-205.pdf

3. 複合ベジェ曲線 - Wikipedia
   https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%90%88%E3%83%99%E3%82%B8%E3%82%A7%E6%9B%B2%E7%B7%9A

4. 滑らかな関数 - Wikipedia
   https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0

5. Curvature - Wikipedia
   https://en.wikipedia.org/wiki/Curvature