・経緯
Thunderbirdでサーバとの接続が切断されました。サーバがダウンしたか、ネットワークに問題があるかもしれません。とのメッセージが頻出するようになった。

メールサーバの/var/log/mailogを確認したところ以下のメッセージを発見

dovecot: imap-login: Maximum number of connections from user+IP exceeded (mail_max_userip_connections=10): user=, method=PLAIN, rip=xx.xx.xx.xx, lip=yy.yy.yy.yy, TLS

・原因：同一IPアドレスからの、1ユーザのIMAP接続が規定の数を超えていた。

・対処
コネクションの上限数を増やした
設定を編集

vim /etc/dovecot/conf.d/20-imap.conf

下記を追記

mail_max_userip_connections = [上限数]

dovecotをリロード(CentOS7)

systemctl reload dovecot.service

サーバ側の設定について
参考：http://bisland.xyz/imap-login-maximum-number-of-connections-from-userip-exceeded/
参考：http://vogel.at.webry.info/201406/article_17.html

（Thunderbird側でコネクションの上限を制御することもできる。）
thunderbird側の設定について
参考：http://kyotopcocchan.seesaa.net/article/368685297.html