Youtubeの規約、そして動画の著作権に注意し、自己責任で実装するようにお願いいたします。
はじめに
何らかのパッケージをインポートせずに、Unityの標準機能だけでYoutubeの動画を再生することができることを発見しました。
その方法とはこちらのReadme（英文）に記載されていたのですね。
これを和訳しながら解説していきます。
#実装方法（3Dの場合）
新規オブジェクトとしてPlane（平面）を用意しましょう。
そのPlaneにVideo Playerコンポーネント（標準機能、「Add Component(コンポーネントを追加）」から検索すると出てきます）をアタッチ。
一番上のSourceを「URL」に変更。
するとURL入力欄が出てきますので、下記のように入力してください。
動画IDは再生したい動画のページのURLから取得できます。
例えば、もともとの動画ページのURLが
ならば、動画IDは末尾の 2x33fVB3iNs になります。
これで完成です。
Play On Awakeを有効にしていれば実行してすぐに動画が再生されますので、そちらでご確認ください。
おわりに
URLを入力する段階で unity-youtube-dl-server.herokuapp.com が何者か気になった方がいるかもしれません。
これはこちら（英文）で、Youtube動画の再生URLを配信することを目的のサーバーを利用しています。
すなわち、ある日突然このサーバー主がシャットダウン（あるいはherokuが倒産）すれば、上記URLでは無効となってしまいます。
もし安全性・信頼性を担保したい場合は、ご自身でこちら（英文）のサーバーを立てる必要があります。