ベンフォードの法則
ベンフォードの法則とは，自然界に現れる数値の１桁目の１から９の数字が，等しく分布するのではなく，偏って分布するという法則です．数学的には数字$i$($0\leq i\leq 9$)が現れる頻度は，
$$
\log_{10}(i+1)-\log_{10}i
$$
となり，具体的には次のようになります．
| $i$ | $\log_{10}(i+1)-\log_{10}i$ |
|---|---|
| 1 | 30.1% |
| 2 | 17.6% |
| 3 | 12.5% |
| 4 | 9.7% |
| 5 | 7.9% |
| 6 | 6.7% |
| 7 | 5.8% |
| 8 | 5.1% |
| 9 | 4.6% |
Pythonプログラムによるベンフォードの法則の検証
ある銀行に口座を開設し，初日に1円を預けることにします．利子が毎日元本を2倍にすると仮定し，この状況で毎日の口座残高を記録します．注目点は，通帳に記載される金額の最初の数字がどのように分布するかです．簡単のため，残高が10以上になったときに10で割り，常に1以上10未満の金額が得られるようにします．そして，その整数部分からヒストグラムを作成します．この手順を実装したPythonプログラムが以下になります．
import math
from collections import defaultdict
iteration = 10000000
val = 1
histogram = defaultdict(int)
for _ in range(iteration):
histogram[int(val)] += 1
val *= 2
if val >= 10:
val /= 10
for i in range(1, 10):
print(
f"{i}: {histogram[i]/iteration*100:7.4f}% {(math.log10(i+1)-math.log10(i))*100:7.4f}%"
)
histogramにdefaultdictを使っているので，存在しないキーの値は0として扱われます．これを実行すると，次の結果が得られます．val = 1から開始しているので，小さい値の頻度が理論値より僅かに大きくなっています．
1: 30.1033% 30.1030%
2: 17.6092% 17.6091%
3: 12.4939% 12.4939%
4: 9.6910% 9.6910%
5: 7.9181% 7.9181%
6: 6.6945% 6.6947%
7: 5.7991% 5.7992%
8: 5.1152% 5.1153%
9: 4.5756% 4.5757%
valの初期値1を変更したり，利子を2倍でなく他の利率，例えば，1.001にしても同様の結果が得られます．