結論から言うと、シングルページアプリケーション（SPA）でブラウザ標準のID・パスワード保存機能に依存しない方が無難。セキュリティ的な観点を無視するなら LocalStorage を使って独自実装するのが良いかもしれない。

全ブラウザ共通

プライベートモードでない
フォームに ID およびパスワード入力欄が含まれている
- <input type="text" /> または <input type="email" />
- <input type="password" />
- 保存される項目は上記の 2 つのみ。これ以外は cookie 等を用いて工夫する

ブラウザごと