はじめに

命題論理において、パラメータの命題の値にかかわらず、常に真になる論理式をトートロジー、あるいは常真式と呼びます。今回はこのトートロジーが成り立つところを真理値表を書いて確かめたいと思います。また、その前提となる結合子や真理値表も記しておきます。

命題論理の結合子

記号	意味
¬	否定、NOT、ではない
∧	連言、AND、かつ
∨	選言、OR、または
⊃	包含、IMP、ならば
≡	同値、EQ、等しい
\|	否定論理積、NAND
↓	否定論理和、NOR
⊻,⊕	排他的論理和、NAND

真理関数の真理値表(代表的な真理値表)

P	Q	¬P	¬Q	P⊃Q	P∨Q	P∧Q
T	T	F	F	T	T	T
T	F	F	T	F	T	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	T	T	F	F

P≡Q	P \| Q	P ↓ Q	P ⊻ Q
T	F	F	F
F	T	F	T
F	T	F	T
T	T	T	F

トートロジーの真理値表

同一律 … P ⊃ P

P	P	P ⊃ P
T	T	T
F	F	T

排中律 … P ∨ ¬P

P	¬ P	P ∨ ¬P
T	F	T
F	T	T

次の命題 P について考える。
「ソクラテスは死ぬ」
この命題に対して、排中律とは、
「ソクラテスは死ぬかあるいは死なないかのどちらかである」
という命題 P ∨ ¬P が成立する、という規則である（それ以外の第三の状態や中間の状態を取らない）
wikipedia:排中律

二重否定律 … ¬¬P ≡ P

P	¬ P	¬¬P	¬¬P ≡ P
T	F	T	T
F	T	F	T

矛盾律 … ¬( P ∧ ¬P )

P	¬ P	P ∧ ¬P	¬( P ∧ ¬P )
T	F	F	T
F	T	F	T

アリストテレスによれば「ある事物について同じ観点でかつ同時に、それを肯定しつつ否定することはできない」こと
wikipedia:無矛盾律

Principle of explosion … ( P ∧ ¬P ) ⊃ Q

P	¬ P	P ∧ ¬P	Q	( P ∧ ¬P ) ⊃ Q
T	F	F	T	T
F	T	F	F	T

Principle of explosion とは、矛盾からはどのような結論でも導き出せてしまうこと。

対偶律 … ( P ⊃ Q ) ⊃ ( ¬Q ⊃ ¬P )

P	Q	¬Q	¬P	P ⊃ Q	¬Q ⊃ ¬P	( P ⊃ Q ) ⊃ ( ¬Q ⊃ ¬P )
T	T	F	F	T	T	T
T	F	T	F	F	F	T
F	T	F	T	T	T	T
F	F	T	T	T	T	T

推移律 … (( P ⊃ Q ) ∧ ( Q ⊃ R )) ⊃ ( P ⊃ R)

P	Q	R	P ⊃ Q	Q ⊃ R	( P ⊃ Q ) ∧ ( Q ⊃ R ))	P ⊃ R	(( P ⊃ Q ) ∧ ( Q ⊃ R )) ⊃ ( P ⊃ R)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F	T
T	F	T	F	T	F	T	T
T	F	F	F	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	T	F	F	T	T
F	F	T	T	T	T	T	T
F	F	F	T	T	T	T	T

これはいわゆる三段論法です。

そのほかのトートロジー

このあたりで真理値表を書く気力がなくなったのですが、以下もトートロジーです。

分配律 … P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) あるいは P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
ド・モルガン … ¬ ( P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q あるいは ¬ ( P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
前件肯定式 … (( P ⊃ Q ) ∧ P) ⊃ Q
後件否定式 … (( P ⊃ Q ) ∧ ¬ Q) ⊃ ¬ P
選言的三段論法 … (( P ∨ Q ) ∧ ¬P) ⊃ Q

そもそもなぜトートロジーを真理値表で確かめているのか

理論から学ぶデータベース実践入門 ~リレーショナルモデルによる効率的なSQL (WEB+DB PRESS plus))
いまこの本を読んでいるのですが、この本の中に、同一律や排中律、矛盾律などの定理がトートロジーになっていることを真理値表を書いて確かめてください、という記載があって、それでは実際に手を動かして書いてみようと思い立ちました。
真理値表の上で定理がピシャっと常真（パラメータに何が入ろうとも真になる）に落ち着くと、なんとも気持ちがいいですね。途中で力がつきましたが！

以上です。