はじめに
命題論理において、パラメータの命題の値にかかわらず、常に真になる論理式をトートロジー、あるいは常真式と呼びます。今回はこのトートロジーが成り立つところを真理値表を書いて確かめたいと思います。また、その前提となる結合子や真理値表も記しておきます。
命題論理の結合子
| 記号 |
意味 |
| ¬ |
否定、NOT、ではない |
| ∧ |
連言、AND、かつ |
| ∨ |
選言、OR、または |
| ⊃ |
包含、IMP、ならば |
| ≡ |
同値、EQ、等しい |
| | |
否定論理積、NAND |
| ↓ |
否定論理和、NOR |
| ⊻,⊕ |
排他的論理和、NAND |
真理関数の真理値表(代表的な真理値表)
| P |
Q |
¬P |
¬Q |
P⊃Q |
P∨Q |
P∧Q |
| T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
| T |
F |
F |
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F |
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F |
| F |
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F |
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F |
| F |
F |
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T |
T |
F |
F |
| P≡Q |
P | Q |
P ↓ Q |
P ⊻ Q |
| T |
F |
F |
F |
| F |
T |
F |
T |
| F |
T |
F |
T |
| T |
T |
T |
F |
トートロジーの真理値表
次の命題 P について考える。
「ソクラテスは死ぬ」
この命題に対して、排中律とは、
「ソクラテスは死ぬかあるいは死なないかのどちらかである」
という命題 P ∨ ¬P が成立する、という規則である（それ以外の第三の状態や中間の状態を取らない）
wikipedia:排中律
| P |
¬ P |
¬¬P |
¬¬P ≡ P |
| T |
F |
T |
T |
| F |
T |
F |
T |
| P |
¬ P |
P ∧ ¬P |
¬( P ∧ ¬P ) |
| T |
F |
F |
T |
| F |
T |
F |
T |
アリストテレスによれば「ある事物について同じ観点でかつ同時に、それを肯定しつつ否定することはできない」こと
wikipedia:無矛盾律
- Principle of explosion … ( P ∧ ¬P ) ⊃ Q
| P |
¬ P |
P ∧ ¬P |
Q |
( P ∧ ¬P ) ⊃ Q |
| T |
F |
F |
T |
T |
| F |
T |
F |
F |
T |
Principle of explosion とは、矛盾からはどのような結論でも導き出せてしまうこと。
- 対偶律 … ( P ⊃ Q ) ⊃ ( ¬Q ⊃ ¬P )
| P |
Q |
¬Q |
¬P |
P ⊃ Q |
¬Q ⊃ ¬P |
( P ⊃ Q ) ⊃ ( ¬Q ⊃ ¬P ) |
| T |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
| T |
F |
T |
F |
F |
F |
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| F |
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T |
T |
T |
| F |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
- 推移律 … (( P ⊃ Q ) ∧ ( Q ⊃ R )) ⊃ ( P ⊃ R)
| P |
Q |
R |
P ⊃ Q |
Q ⊃ R |
( P ⊃ Q ) ∧ ( Q ⊃ R )) |
P ⊃ R |
(( P ⊃ Q ) ∧ ( Q ⊃ R )) ⊃ ( P ⊃ R) |
| T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
| T |
T |
F |
T |
F |
F |
F |
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| T |
F |
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F |
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F |
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F |
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| F |
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| F |
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| F |
F |
T |
T |
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T |
T |
T |
| F |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
これはいわゆる三段論法です。
そのほかのトートロジー
このあたりで真理値表を書く気力がなくなったのですが、以下もトートロジーです。
- 分配律 … P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) あるいは P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
- ド・モルガン … ¬ ( P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q あるいは ¬ ( P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q
- 前件肯定式 … (( P ⊃ Q ) ∧ P) ⊃ Q
- 後件否定式 … (( P ⊃ Q ) ∧ ¬ Q) ⊃ ¬ P
- 選言的三段論法 … (( P ∨ Q ) ∧ ¬P) ⊃ Q
そもそもなぜトートロジーを真理値表で確かめているのか
理論から学ぶデータベース実践入門 ~リレーショナルモデルによる効率的なSQL (WEB+DB PRESS plus))
いまこの本を読んでいるのですが、この本の中に、同一律や排中律、矛盾律などの定理がトートロジーになっていることを真理値表を書いて確かめてください、という記載があって、それでは実際に手を動かして書いてみようと思い立ちました。
真理値表の上で定理がピシャっと常真（パラメータに何が入ろうとも真になる）に落ち着くと、なんとも気持ちがいいですね。途中で力がつきましたが！
以上です。
