『異常検知と変化検知』の1-3章（基礎）要点まとめ

• 読んだ本：異常検知と変化検知
• 本には、コレに加えて↓が書いてある
  • 定理の証明や、使う式の導出

目的

後から要点を参照できるようにしておく

内容

第1章：異常検知・変化検知の基本的な考え方

• 異常検知・変化検知の種類
  • 外れ値検知(outlier detection)、変化検知(change detection)（=変化点検知(change-point detection)）、異常部位検知(discord discovery)

異常度

ラベル付きデータ

• データ数：$N$
• データ：$D = \bigl( (\boldsymbol{x}^{(1)}, y^{(1)}), (\boldsymbol{x}^{(2)}, y^{(2)}), \cdots , (\boldsymbol{x}^{(N)}, y^{(N)}) \bigr) $
• データの特徴量：$\boldsymbol{x}^{(n)}$
• データのラベル：$y^{(n)}$（正常な場合は0、異常な場合は1になる）
• 条件付き分布：$p(\boldsymbol{x} | y)$（$y$が決まったとき、$\boldsymbol{x}$に対する確率密度。データ$D$から作る。作り方は後述）

とすると、**異常値（anomaly score）**は以下のようになる。

a(\boldsymbol{x}') = \ln \frac{p(\boldsymbol{x}' | y=1)}{p(\boldsymbol{x}' | y=0)}

• ここでは、確率分布の比＝密度比（density ratio）＝尤度比（likelihood ratio）で異常度を定義している
  • 「$y=1$（異常）の場合の$\boldsymbol{x}'$になりやすさ」と「$y=0$（正常）の場合の$\boldsymbol{x}'$になりやすさ」を比較してる
• コレがある値を超えたら$y=1$（異常）と判定する（ネイマン・ピアソン決定則(Neyman-Pearson decision rule)）

ラベルなしデータ

• データ数：$N$
• データ：$D = \bigl( \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, \cdots , \boldsymbol{x}^{(N)} \bigr) $
• データの特徴量：$\boldsymbol{x}^{(n)}$
• 条件付き分布：$p(\boldsymbol{x} | D)$（データ$D$から作る、$\boldsymbol{x}$に対する確率密度。）

とすると、**異常値（anomaly score）**は以下のようになる。

a(\boldsymbol{x}') = - \ln p(\boldsymbol{x}' | D)

• 情報理論におけるシャノン情報量（Shannon information）
  • $\boldsymbol{x}'$が珍しい
  • = $\boldsymbol{x}'$になりやすさが小さい
  • = $p(\boldsymbol{x}' | D)$が小さい
  • = 異常度$a(\boldsymbol{x}')$が高い
  • = 情報量が高い

検知器の性能評価

• 確認法
  • 交差確認法（cross validation）
    • 全体の1/N個を検証データ、残りを訓練データに分ける
    • 訓練データで学習し、検証データで性能を評価する
    • 検証データを変えて、N回繰り返す
  • 1つ抜き交差確認法（leave-one-out cross validation）
    • ↑を、検証データを1個、残りを訓練データとして行う
• 異常検知での注意点
  • ほとんどの場合で（正常標本の数）＞＞（異常標本の数）になる
  • 何がマズイのか？
    • 全体に対しての正解率だけ見ると、欲しい性能を評価しきれない
    • 例：データが1,000個あって異常が1個だけのとき、「全部正常と判定する」検知器が正解率99.9%になる。しかし、この検知器では異常は検出できない
• 精度
  • 精度 (Accuracy)、適合率 (Precision)$r_0$、再現率 (Recall)$r_1$、F値 (F-Measure)あたりの話
• ROC曲線、AUC
  • ROC曲線 (receiver operating characteristic curve)
    • $(x, y) = (1-r_0, r_1)$を、異常判定の閾値を変化させてプロットした曲線
  • AUC (area under curve, 曲線下部面積)
    • ROC曲線の下側面積
    • 大きいほど良い検知器

第2章：ホテリングのT2法による異常検知

多変量正規分布の最尤推定

• $M$次元の$N$個のデータ$D$を考える
  • $D = \bigl( \boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{x}^{(2)}, \cdots , \boldsymbol{x}^{(N)} \bigr) $
• ホテリングの$T^2$法の前提
  • データ$D$が異常標本を含まないか、含んでいたとしても圧倒的に少数である
• 各標本が、独立に以下の確率密度関数（正規分布、ガウス分布）に従うと仮定する
  • $\boldsymbol{\mu}$：平均
  • $\Sigma$：共分散行列
  • $\Sigma^{-1}$：共分散行列の逆行列 = 精度行列。しばしば$\Lambda$で表される

N( \boldsymbol{x} | \boldsymbol{\mu} , \Sigma) \equiv \frac{ |\Sigma|^{-1/2} }{ (2\pi)^{M/2} } exp \bigl( - \frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}) \bigr)

$\mu$, $\Sigma$をデータ$D$から求めるには、最尤推定を使う。$N$個のデータの対数尤度$L(\mu, \Sigma | D)$は以下のようになる

\begin{align}
L(\mu, \Sigma | D) &= \ln \prod_{n=1}^{N} N( \boldsymbol{x}^{(n)} | \boldsymbol{\mu} , \Sigma) \\
&= \sum_{n=1}^{N} \ln N( \boldsymbol{x}^{(n)} | \boldsymbol{\mu} , \Sigma) \\
&= - \frac{MN}{2} \ln (2\pi) - \frac{N}{2} \ln |\Sigma| - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \bigl( (\boldsymbol{x}^{(n)} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\boldsymbol{x}^{(n)} - \boldsymbol{\mu}) \bigr) \\
\end{align}

これを最大にするような$\boldsymbol{\mu}$, $\Sigma$を$\hat{\boldsymbol{\mu}}$, $\hat{\Sigma}$とすると、以下のようになる

\begin{align}
\hat{\boldsymbol{\mu}} &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \boldsymbol{x}^{(n)} \\
\hat{\Sigma} &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} (\boldsymbol{x}^{(n)} - \hat{\boldsymbol{\mu}}) (\boldsymbol{x}^{(n)} - \hat{\boldsymbol{\mu}})^T \\
\end{align}

マハラノビス距離とホテリングのT2法

• マハラノビス距離
  • 変数ごとの分散、相関を加味した距離
  • 「バラつきが大きい方向には、多少変動があっても小さく」「バラつきが小さい方向には、変動があると大きく」出てくる

a(\boldsymbol{x'}) = (\boldsymbol{x'} - \hat{\boldsymbol{\mu}})^T \hat{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x'} - \hat{\boldsymbol{\mu}})

各変数の相関が弱いとき、↓のようになる

a(\boldsymbol{x'}) = \sum_{n=1}^{N} ( \frac{x_i - \hat{\mu}_i }{ \sigma_i } )^2

• ホテリングの$T^2$法
  1. $\boldsymbol{x'} - \hat{\boldsymbol{\mu}}$は、平均$\boldsymbol{0}$、共分散$\frac{N+1}{N} \Sigma$の$M$次元正規分布に従う.
  2. $\hat{\Sigma}$は、$\boldsymbol{x'} - \hat{\boldsymbol{\mu}}$と統計的に独立である.
  3. 統計量$T^2 \equiv \frac{N-M}{(N+1) M} a(\boldsymbol{x'})$は、自由度$(M, N-M)$の$F$分布に従う.
  4. $N >> M$の場合は、$a(\boldsymbol{x'})$は、近似的に自由度$M$、スケール因子1のカイ二乗分布に従う. (実用上は、コレが成り立つことが多い)
• 精度よい異常検知のためには、なるべく変数を絞った変数の部分集合ごとに$T^2$を計算するのがよい
  • =事前の特徴量の吟味(feature engineering)が必要

第3章：単純ベイズ法による異常検知

• $M$次元の変数を持つ$N$個のデータの異常検知を考える
• 単純ベイズでは、変数ごとに問題を切り分ける
  • 多次元の問題を１次元に帰着する
  • 変数1つずつで独立の確率分布を考え、全部掛けたものを使う
  • 変数同士の相関関係などは考えない
  • コッチでも一応まとめてる

p(\boldsymbol{x} | y) = p(x_1 | y) p(x_2 | y) \cdots p(x_M | y) = \prod_{i=1}^{M} p(x_i | y)

• 「BOW(bag-of-words)での迷惑メール振り分け例」「事前分布とベイズの定理使っての、事後分布算出」あたりは割愛

二値分類と異常検知

二値分類に一般的に使われるベイズ決定則は↓

\begin{align}
& \quad \ln \frac{p(y=1 |\boldsymbol{x})}{p(y=0 |\boldsymbol{x})} > 0 \\
\Rightarrow & \quad p(y=1 |\boldsymbol{x}) > p(y=0 |\boldsymbol{x}) \\
\Rightarrow & \quad y = 1と判定
\end{align}

• これは、ネイマン・ピアソン決定則の閾値を0に設定したものと同じ
• 異常検知では検知器の異常標本精度（再現率）も考えて閾値をカスタマイズする