今回は、ユニタリ行列をとりあげます。これは、エルミート行列を対角化させることができる便利な行列です。内積も変えない変換をさせます。次の式も成り立ちます。

U^{*}＝U^{-1}

この式は、下の式を変形したものです。

    U^{*}U=UU^{*}=E

では、ユニタリ行列を説明します。今回、次の３つのステップを踏みます。

STEP1 対称行列と転置行列
STEP2 エルミート行列とユニタリ行列
STEP3 対角化　問題１

（STEP１）
対称行列は次です。

\mathbf{A} = \
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{pmatrix}

転置行列は次です。

\mathbf{A^T} = -1/3 \
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-2 & 1 \\
\end{pmatrix}

対称行列は、転置行列で対角化できます。

（STEP ２）
エルミート行列とユニタリ行列
以下の行列は、転置行列です。（複素数をiを使います）


\mathbf{A} = \
\begin{pmatrix}
1 & i \\
i & 1 \\
\end{pmatrix}

複素共役（複素数で符号が変わる）な行列にすると

\mathbf{A^*} = \
\begin{pmatrix}
1 & -i \\
-i & 1 \\
\end{pmatrix}

この転置行列かつ複素共役な行列をエルミート行列といいます。エルミート行列は、

    AA^{*} = A^{*}A

が成立するため、正規行列である。正規行列ですので、ユニタリ行列で対角化することができます。
（STEP１）のように、対称行列を直交行列により対角化したのと同様の操作（対角化）ができます。

（STEP ３）対角化
問題１）次のエルミート行列Ａをユニタリ―行列Ｕにより対角化せよ。

\mathbf{A} = \
\begin{pmatrix}
1 & 1+i \\
1-i & 1 \\
\end{pmatrix}

まず、固有方程式を解く。

|A-\lambda E|= 
\begin{pmatrix}
1-\lambda & 1+i \\
1-i & 1-\lambda \\
\end{pmatrix}
=
(1- \lambda)^{2} - (1+i)(1-i) = 0

(\lambda - 1)^{2} = 2   \qquad ∴\lambda = 1±\sqrt{2}

A - (1+\sqrt{2})E =  
\begin{pmatrix}
-\sqrt{2} & 1+i \\
1-i & -\sqrt{2} \\
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
-\sqrt{2} & -(1+i) \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}

から固有値ベクトルの1つは

X =  
\begin{pmatrix}
1+i \\
\sqrt{2} \\
\end{pmatrix}

|x|^2 = x*x = (1 - i)×(1 + i) + √2　×　√2 = 4より　|x| = 2
λ = 1 + √２に属する単位固有ベクトルは

U_1 = 1/|x|  X= 1/2  
\begin{pmatrix} 
1+i  \\
\sqrt{2} \\
\end{pmatrix}

ii)λ = 1 - √２のとき

A - (1-\sqrt{2})E =  
\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 1+i \\
1-i & \sqrt{2} \\
\end{pmatrix}
→
\begin{pmatrix}
\sqrt{2} & 1+i \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}

から固有値ベクトルの1つは

X =  
\begin{pmatrix}
1+i \\
-\sqrt{2} \\
\end{pmatrix}

よって、

U =  
\begin{pmatrix}
u_1 & u_2 \\
\end{pmatrix}

とおくと、

U^{*}AU =  
\begin{pmatrix}
1+\sqrt{2}  && 0\\
0 && 1-\sqrt{2} \\
\end{pmatrix}

□問題終わり

考察１）
ユニタリ―行列（とエルミート行列）は正規行列だから、問題１のように、
これらはユニタリ―行列Uで対角化可能である。

また、ユニタリ行列な内積を変えないような変換を表す行列です。※２
（ユニタリ unitary ＝「単位的」。変換の前後でベクトルの内積が 1 倍になる。）
ｎ本の行ベクトル・列ベクトルが、正規直交系の基底をなします。

また、統計の世界でも、ユニタリ行列は活躍します！　※３

考察２）エルミート行列について
共役かつ転置な行列を

    A^{*} （アスタリスク）とすると、

    AA^{*} = A^{*}A

を満たす行列を「正規行列」といいます。

さらに、

    A^{*} = A

を満たすとき、Aをエルミート行列といいます。

エルミート行列の特徴としては、
・ユニタリー行列による対角化可能
・固有ベクトルが正規直交基底・ユニタリー行列を生成
・「正規行列」
・固有値が実数・固有ベクトルが直交

補足）
ユニタリ行列は、直交行列でもあります。（＋複素数！）
直交行列に触れていませんでしたので、説明します。転置行列を

P^{t}

とすると、

PP^{t}＝P^{t}P = E

を満たすとき、Pを「直交行列」という。この式を変形すると、次の式が成り立ちます。

P^{t}＝P^{-1}

最後に、ユニタリ行列についてまとめます。ユニタリ行列 (Unitary matrix)は転置行列と逆行列が一致する「直交行列」に複素数 (Complex Number)の取り扱いを加えて拡張した行列です。

参考文献）「数学検定１級１次　線形代数」江川博康　著

※１　「OGUEMON」　線形代数　【固有値編】対称行列の対角化の性質と必ず対角化できる理由
https://oguemon.com/study/linear-algebra/diagonalization-symmetric-mat/

※２　「高校数学の美しい物語」
https://manabitimes.jp/math/2617

※３「集まれ統計の森」
https://www.hello-statisticians.com/math_basic/unitary_mat1.html#:~:text=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97%20%28Unitary,matrix%29%E3%81%AF%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E9%80%86%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%8C%E4%B8%80%E8%87%B4%E3%81%99%E3%82%8B%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AB%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%20%28Complex%20Number%29%E3%81%AE%E5%8F%96%E3%82%8A%E6%89%B1%E3%81%84%E3%82%92%E5%8A%A0%E3%81%88%E3%81%A6%E6%8B%A1%E5%BC%B5%E3%81%97%E3%81%9F%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A7%E3%81%99%E3%80%82