Naive Bayes classifier（単純ベイズ分類器）の仕組み

Naive Bayes Classifierの原理を解説します．
この記事では，その導入部分だけを書き，Naive Bayesそのものまでは書きません．Naive Bayesそのものについては，次の記事で書くつもりです．

概要

Naive Bayes Classifierは，機械学習の，分類アルゴリズムの一つです．
古くから，特にテキストの分類に使われてきました．
Apache Spark MLlibや，python nltkで使ってみることができます．

アルゴリズム

Naive Bayes以前

例

次のような，10件の学習データがあったとします．

おもしろい #モンスターハンター
おもしろい #モンスターハンター
おもしろい #モンスターハンター
おもしろくない #モンスターハンター
おもしろくない #モンスターハンター
おもしろい #たけしの挑戦状
おもしろくない #たけしの挑戦状
おもしろくない #たけしの挑戦状
おもしろくない #たけしの挑戦状
おもしろくない #たけしの挑戦状

ここで，さらに

おもしろくない

という入力があったとします．この入力の次に続くのは，#モンスターハンターか　#たけしの挑戦状のどちらが適切でしょうか？
学習データを集計すると，以下のような表を作ることができます．

	モンスターハンター	たけしの挑戦状
おもしろい	3件	1件
おもしろくない	2件	4件
いま，入力は「おもしろくない」なので，表の2行目を見ます．

	モンスターハンター	たけしの挑戦状

おもしろくない	2件	4件
ここで，「おもしろくない」に，「モンスターハンター」と「たけしの挑戦状」のそれぞれが続く確率を計算してみると，以下のようになります．
まず，「モンスターハンター」については，

P(モンスターハンター|おもしろくない)=\frac{P(おもしろくない and モンスターハンター)}{P(おもしろくない)}=\frac{2}{2+4}=\frac{1}{3}

となります．ここで，条件付き確率の定義

P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

を用いました．
同様に，「たけしの挑戦状」については

P(たけしの挑戦状|おもしろくない)=\frac{2}{3}

となります．
以上の計算から，「おもしろくない」に続くのは，「モンスターハンター」の確率が1/3, 「たけしの挑戦状」である確率が2/3であることが，学習データを使ってわかりました．

つまり

入力データXと，正解ラベルYの組からなる，学習データを用意します．
この学習データから，X×Y上の確率分布が計算できます．
この確率分布を使って，分類器を以下のように作ることができます．

いま，入力X=xがあったとき，この入力に対応する出力がY=yである確率P(Y=y| X=x)は，

P(Y=y|X=x)=\frac{P(X=x, Y=y)}{P(X=x)}

で計算できます．この確率の最大値を与えるY=yが，最尤の出力です．

ところで，いま，P(X=x)はxを一つ与えるごとに固定されるので，最大値を与えるY=yを探すときには，分母のP(X=x)は気にせず，P(X=x, Y=y)だけを考えればよいです．