実装イメージ

「こんにちは」ボタンを押すと「上のボタンを押すとメッセージが変わるよ！」のところが「こんにちは」に
「こんばんは」を押すと「こんばんは」にページ遷移せず変わります。

さくっとコード

装飾のコードは抜いています。

config/routes.rb

Rails.application.routes.draw do
  get '/example', to: 'example#index'
  post '/example/greet', to: 'example#greet'
end

app/controllers/example_controller.rb

class ExampleController < ApplicationController
  layout "application"

  def index
    @message = "上のボタンを押すとメッセージが変わるよ！"
  end

  def greet
    @message= params[:greet]
  end
end

上記のlayoutはrails-ujsを使えるやつで
最近のrailsだとデフォルトで使えるはず。。。知らんけど。。。。。

app/views/example/index.html.slim

h1 rails-ujs使用例

/ link_toで実装
= link_to example_greet_path(greet: "こんにちは"), method: :post, remote: true do
  p こんにちは

/ form_withで実装
= form_with url: example_greet_path, remote: true do
  = hidden_field_tag :greet, "こんばんは"
  = submit_tag "こんばんは"

#js-greet
  = render partial: "greet"

app/views/example/_greet.html.slim

p = @message

app/views/example/greet.js.erb

document.querySelector("#js-greet").innerHTML = "<%= j(render partial: "greet") %>"

解説

厳密さにかけているかもです、なんとなく察してください
formやlinkにremote: trueをつけると非同期でcontrollerのgreetメソッドを経由しgreet.js.erbが実行されます。
このサンプルのgreetメソッドはparamsを変数に入れているだけですが、
modelを操作して結果を返すのが主になると思います。