統計検定１級（人文科学）チートシート [正規分布]

統計検定１級応用（人文科学）の固有トピックを備忘録的にまとめています。

統計検定１級（人文科学）チートシート [正規分布]
統計検定１級（人文科学）チートシート [分散分析]
#1次元正規分布の確率密度関数

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)\ \  (-∞<x<∞)

特に、$\mu=0, \sigma^2=1$の場合を標準正規分布と呼ぶ。
確率変数 $x$ が1次元正規分布に従うとき、$x \sim N(\mu, \sigma^2)$と表記し、確率密度関数、分布関数をそれぞれ $\phi(x)$, $\Phi(x)$で表す。

#多次元正規分布の確率密度関数

f(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{n}\ \sqrt{|\Sigma|}}\ exp\Big\{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\Big\}
\ \ (\boldsymbol{x} \in R^d)

確率変数 $\boldsymbol{x}$ が多次元正規分布に従うとき、$\boldsymbol{x} \sim MVN(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$と表記する。

#確率変数の線形変換
多次元正規分布に従う確率変数 $\boldsymbol{x}$ を行列$A$で変換したときの確率分布

A\boldsymbol{x} \sim MVN(A\boldsymbol{\mu}, A \Sigma A^{\mathrm{T}})

##出題

• 2013年 問2 [1],[2]
• 2014年 問1 [1],[2]

#切断正規分布
標準正規分布の定義域を $a<x<∞$ に制限した確率密度関数を考える。

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right)
\Biggl(\int_{a}^{∞}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right)dx\Biggl)^{-1}=
\frac{\phi(x)}{1-\Phi(a)}\ \ (a<x<∞)

\begin{eqnarray}
E[x] &=& R^{-1}(a)\\
V[x] &=& 1 + aR^{-1}(a) - R^{-2}(a)\\
R(a) &=& \frac{1-\Phi(a)}{\phi(a)}
\end{eqnarray}

##出題

• 2014年 問1 [3],[4]
• 2016年 問2 [2],[3]
• 2017年 問3 [3]

#条件付き分布

\begin{bmatrix}\boldsymbol{x_1}  \\ \boldsymbol{x_2}\end{bmatrix}
\sim
MVN(\begin{bmatrix}\boldsymbol{\mu_1}  \\ \boldsymbol{\mu_2}\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}\Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22}\end{bmatrix})

ならば、　

\boldsymbol{x_1} | \boldsymbol{x_2} \sim N(\boldsymbol{\mu_{1|2}},\ \Sigma_{11 \cdot 2})

ただし、

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{\mu_{1|2}} &=& \boldsymbol{\mu_1} + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1}(\boldsymbol{x_2}  - \boldsymbol{\mu_2})
\\
\Sigma_{11 \cdot 2} &=& \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{12}
\end{eqnarray}

##出題

• 2017年 問3 [1],[2]