私は、さくらのレンタルサーバーで試しましたが、他のレンタルサーバーでもssh接続できればこの手順でできると思います。
git 環境を構築し、ファイルをアップロードする
git環境の構築はコチラに書いています。
https://qiita.com/junpeko5/items/087704082df9912cb4fd
ローカルのDBをエクスポートする
phpmyadminなどのDBクライアントより、データベースをsqlファイルでエクスポートしておきます。
リモートのDBにインポートする
リモート側のデータベースを新規作成して、ローカルよりエクスポートしたsqlファイルをインポートします。
この時、設定したデータベース名、ユーザー名、パスワード、ホスト名は必要になるので、メモしておきましょう。
dotenvで環境が異なっても動作するように設定する
先ほどメモした、DB情報を.envファイルに書き込みます。
.envの導入はコチラに書いています。
https://qiita.com/junpeko5/items/6754efcd014ae86a5aed