解決方法

正規表現を使う。

MySQL 5.6 リファレンスマニュアル 12.5.2 正規表現
https://dev.mysql.com/doc/refman/5.6/ja/regexp.html

mysql> select * from user where name regexp 'テスト( |　)*ユーザ';
+----+------------------+
| id | name             |
+----+------------------+
|  1 | テストユーザ     |
|  2 | テスト　ユーザ   |
|  3 | テスト　　ユーザ |
|  4 | テスト ユーザ    |
+----+------------------+

スペースが入っているものに限定するならこう。

mysql> select * from user where name regexp 'テスト( |　)+ユーザ';
+----+------------------+
| id | name             |
+----+------------------+
|  2 | テスト　ユーザ   |
|  3 | テスト　　ユーザ |
|  4 | テスト ユーザ    |
+----+------------------+