統計検定１級対策に、統計分野の院試問題を解いてみました。
間違っているかもしれないので、指摘してもらえると嬉しいです。
問題は、以下にあります。
https://www.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/Inshi/r07.pdf
(1)
$S_n \sim Bin(n, \theta)$に注意すると、
$E[S_n] = n\theta, V[S_n]=n\theta(1-\theta)$である。
よって、
$$
E[\hat{\theta}_n(a,b)] = \frac{a+n\theta}{a+b+n}, V[\hat{\theta}_n(a,b)] = \frac{n\theta(1-\theta)}{(a+b+n)^2}
$$である。
平均二乗誤差は、分散とバイアスの２乗に分解できるので（これを知っていると計算が楽）
$$
R_n(a,b|\theta) = \frac{n\theta(1-\theta)}{(a+b+n)^2} + (\frac{a+n\theta}{a+b+n} - \theta)^2 = \frac{((a + b)^2 -n)\theta^2 + (n - 2a(a+b))\theta + a^2}{(a+b+n)^2}
$$
と計算できる。
(2)
(1)より、$R_n(a,b|\theta)$が$\theta$に依存しないためには、$\theta$に関する係数が0であればいいので
$$
(a+b)^2 = n, n = 2a(a+b)
$$
を同時に満たせばよい。これを解くと、
$a = b = \sqrt{n}/2$となる。
(3)
(2)より、$R_n^* = a^2/{(a+b+n)^2} = 1/4(\sqrt{n}+1)^2$
一方で、
$$
R_n(0,0|\theta) = \frac{-n\theta^2 + n\theta}{n^2} = \frac{-1}{n}(\theta - 1/2)^2 + \frac{1}{4n}
$$
なので、$\theta=1/2$のとき、$R_n(0,0|\theta)$は最大値$1/4n$を取る。
よって、
$max_{\theta \in [0, 1]} R_n(0, 0 |\theta) = 1/4n$
以上から、$max_{\theta \in [0, 1]} R_n(0, 0 |\theta) \leq R_n^*$は成り立たない。
(4)
$\hat{\theta}_n(a,b) = \frac{a}{a+b+n} + \frac{n}{a+b+n}\frac{S_n}{n}$に注意すると、
$n \rightarrow \infty$で
$\frac{a}{a+b+n} \rightarrow 0, \frac{n}{a+b+n} \rightarrow 1$
である。
また、$X_1, \cdots, X_n$はiidで$V[X_i]$は有限のため、大数の弱法則から
$\frac{S_n}{n}$は$\theta$に確率収束する。
以上から、$\hat{\theta}_n(a,b) \rightarrow^p \theta$である。
また、連続写像定理から、
$(\hat{\theta}_n(a,b))^2 \rightarrow^p \theta^2$であるので、
$(\hat{\theta}_n(a,b))^2$は$\theta^2$の一致推定量である。
感想
一致推定量とくれば、大数の法則を使うイメージがあります。