統計検定１級対策に、統計分野の院試問題を解いてみました。
間違っているかもしれないので、指摘してもらえると嬉しいです。
問題は、以下にあります。
https://www.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/Inshi/r07.pdf

(1)

一様分布$U(0, 2\theta)$に従う確率変数の中央値は明らかに$\theta$であるので、$\theta$に対する最尤推定量を求めればよい。

尤度関数は、$L(\theta) = (\frac{1}{2\theta})^n$である。

任意の$1 \leq i \leq n$に対して、$0\leq x_i \leq 2\theta$なので、 $2\theta \geq \max_{1 \leq i \leq n} x_i$
よって、$\theta \geq \frac{\max_{1 \leq i \leq n}x_i}{2}$

尤度関数は$\theta$に関して単調減少であることに注意すると、
$\theta$に対する最尤推定量$\hat{\theta_n}$は、

$$\hat{\theta_n} = \frac{\max_{1 \leq i \leq n}X_i}{2}$$

である。

(2)

$Y=\max_{1 \leq i \leq n}X_i$が従う確率密度関数を求める。

$P(Y<x) = \Pi_{i=1}^n P(X_i < x) = \Pi_{i=1}^n \int_0^x \frac{1}{2\theta}dx = (\frac{x}{2\theta})^n \ \ (0<x<2\theta)$
よって、$Y$が従う確率密度関数は

$f_Y(y) = n\frac{y^{n-1}}{(2\theta)^n} \ \ (0 < y < 2\theta)$である。

$Y$の期待値は、

$E[Y]=\int_0^{2\theta}n (y/(2\theta))^n dy = \frac{2n}{n+1} \theta$である。

よって、$T_n = c \hat{\theta_n}$の期待値は、

$E[T_n] = cE[Y]/2 =\frac{n}{n+1} c\theta$であるので、$T_n$が$\theta$の不偏推定量となる$c$は
$$
c = \frac{n+1}{n}
$$
である。

(3)

$Y$の分散を求めることで、$T_n$の分散$v_n$を求める。

$E[Y^2] = \frac{n}{(2\theta)^n} \int_0^{2\theta}y^{n+1} dy = \frac{4n}{n+2} \theta^2$
より、分散公式からYの分散は、

$V[Y] = E[Y^2] -E[Y]^2 = \frac{4n}{n+2} \theta^2 - \frac{4n^2}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{4n}{(n+2)(n+1)^2} \theta^2$である。

よって、
$v_n = V[T_n] = c^2V[\hat{\theta_n}] = \frac{(n+1)^2}{4n^2}V[Y] = \frac{\theta^2}{n(n+2)} $である。

一方、$\bar{X}_n$の分散$w_n$は、一様分布$U(0, 2\theta)$に従う確率変数の分散が$\frac{\theta^2}{3}$であることに注意すると、

$w_n = \frac{\theta^2}{3n}$であり、$n\geq 2$から、 $v_n < w_n$である。

(4)

$E[\sqrt{Y}] = \frac{n}{(2\theta)^n}\int_0^{2\theta} y^{n - 1/2} dy = \frac{n}{(2\theta)^n (n + 1/2)} (2\theta) ^{n + 1/2} = \frac{\sqrt{2}n}{(n+1/2)}
\sqrt{\theta}$　であるので、
$E[\sqrt{T_n}] = \sqrt{\frac{n+1}{2n}} E[\sqrt{Y}] = \frac{n}{(n+1/2)} \sqrt{\frac{n+1}{n}}
\sqrt{\theta}$である。

よって、$\sqrt{T_n}$は$\sqrt{\theta}$の不偏推定量ではない。

感想

標本平均$\bar{X}_n$は正規分布などの例では、最小分散になる不偏推定量ですが
今回はその反例となる問題で面白かったです。