この記事は仮面ライダービルドの数式の第41話です。

\arg\max_{𝑞}[∀𝑛≤𝑞−2,𝑞^2+𝑞+𝑛=𝑝]=41

オイラーの幸運数を意味する式です。

f(x)=x^2+x+41

この式は、x=0～39の整数のとき必ず素数になります。
しかし、x=40のときは、f(42)=1849=43×43となり、素数ではなくなります。

これを一般化して、以下の式にします

f(x)=x^2+x+p

この関数は、pがある値のとき、q=0～(p-2)の結果がすべて素数になります。
他にも、pの候補は2, 3, 5, 11, 17があります。

p	f(0)~f(p-2)	f(p-1)	1-4p
2	2	4=2*2	-7
3	3,5	9=3*3	-11
5	5,7,11,17	25=5*5	-19
11	11,13,17,…,83,101	121=11*11	-43
17	17,19,23,…,227,257	289=17*17	-67
41	41,43,47,…1523,1601	1681=41*41	-163

素数の連続が途切れる数は、必ずp^2となっています。
ですが、実は計算すればわかるのですが、
上に上げた数以外でもかならずf(p-1)=p^2 となります。

これらの数が素数の連続になるのは偶然ではありません。
一番右に1-4pというのがありますが、これは解の公式に入れたときの平方根の中の値になります。
そして、これらの値はすべてヒーグナー数であり、虚二次体の類数が１になる数です。
これらのxの解がちょうどよく虚二次体の形をしていて、
それ故に、次数が1だと合成数になり得なくなってしまう、という仕組みがあります。

…といったものの、二次体の話は高校の範囲で習うものですらなく、
難しいのでこの辺はサラッと流しましょう。
第37話の話も巡り巡って二次体の話なのですが、ちょっと泥沼です。

ヒーグナー数は163が最大の数なので、この式では41が最大になります。
それ故に41がオイラーの幸運数と呼ばれています。