この記事は仮面ライダービルドの数式の第41話です。
\arg\max_{𝑞}[∀𝑛≤𝑞−2,𝑞^2+𝑞+𝑛=𝑝]=41
オイラーの幸運数を意味する式です。
f(x)=x^2+x+41
この式は、x=0～39の整数のとき必ず素数になります。
しかし、x=40のときは、f(42)=1849=43×43となり、素数ではなくなります。
これを一般化して、以下の式にします
f(x)=x^2+x+p
この関数は、pがある値のとき、q=0～(p-2)の結果がすべて素数になります。
他にも、pの候補は2, 3, 5, 11, 17があります。
| p | f(0)~f(p-2) | f(p-1) | 1-4p |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4=2*2 | -7 |
| 3 | 3,5 | 9=3*3 | -11 |
| 5 | 5,7,11,17 | 25=5*5 | -19 |
| 11 | 11,13,17,…,83,101 | 121=11*11 | -43 |
| 17 | 17,19,23,…,227,257 | 289=17*17 | -67 |
| 41 | 41,43,47,…1523,1601 | 1681=41*41 | -163 |
素数の連続が途切れる数は、必ずp^2となっています。
ですが、実は計算すればわかるのですが、
上に上げた数以外でもかならずf(p-1)=p^2 となります。
これらの数が素数の連続になるのは偶然ではありません。
一番右に1-4pというのがありますが、これは解の公式に入れたときの平方根の中の値になります。
そして、これらの値はすべてヒーグナー数であり、虚二次体の類数が１になる数です。
これらのxの解がちょうどよく虚二次体の形をしていて、
それ故に、次数が1だと合成数になり得なくなってしまう、という仕組みがあります。
…といったものの、二次体の話は高校の範囲で習うものですらなく、
難しいのでこの辺はサラッと流しましょう。
第37話の話も巡り巡って二次体の話なのですが、ちょっと泥沼です。
ヒーグナー数は163が最大の数なので、この式では41が最大になります。
それ故に41がオイラーの幸運数と呼ばれています。