UbuntuにKotlinをインストールしてハローワールドまでやってみたを参照して、Ubuntu18.04にKotlin環境を構築したので、Emacsにもkotlin-modeを導入してみました。

手順

emacsを開く
M-x list-packages
C-sで"kotlin"を検索
"flycheck-kotlin"と"kotlin-mode"が見つかるので、インストールしたいパッケージの行にカーソルを合わせて、iを押下
xを押下でインストールを実行 (押下後、インストールを実行するかどうか聞かれる)

補足

手順3.で検索に引っかからない場合、melpaの設定が必要かもしれません。
init.elなどのEmacsの設定ファイルに以下を追加してもう一度試してみてください。

;; MELPA
(require 'package)
(add-to-list 'package-archives
             '("melpa-stable" . "https://stable.melpa.org/packages/") t)
(package-initialize)

参考

UbuntuにKotlinをインストールしてハローワールドまでやってみた
 [Emacs] MELPAの使い方