量子ビットの復習（状態ベクトル）

はじめに

量子コンピュータの学習をしていて、量子ビットの状態式が何を表しているのか分からなくなるので、復習として自分の言葉で説明してみる。
量子ビットの状態ベクトルについて。

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対象読者

自分用。自分の中で整理したり、誰かに説明するときの手助けに。

量子ビットの状態式

量子ビット$|\psi\rangle$は量子の状態を表す。
$|\psi\rangle$は以下の式で表される。

|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + e^{i\phi}\beta|1\rangle, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1, 0 \leq \phi \leq 2\pi

$|0\rangle$の係数$\alpha$は$|0\rangle$の確率振幅と呼ばれ、$|\psi\rangle$を測定したとき$|\alpha|^2$の確率で0が観測される。$\beta$も同様。
$\phi$は$|0\rangle$と$|1\rangle$の位相差。$e^{i\phi}$の絶対値の２乗は１なので、(Z軸)測定での確率には影響しない。

状態式の線形性

もう一度$|\psi\rangle$の式を見る(ただし$\phi = 0$で考える。つまり$e^{i\cdot0} = 1$)。

|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle

$|0\rangle$は測定すると0が出る状態。$|1\rangle$は測定すると1が出る状態。また測定結果は0か1しか出ない。
つまり$|\psi\rangle$は線形独立な基底$\{|0\rangle, |1\rangle\}$の線形結合になっている(表現あってる?)

なので$|\psi\rangle$は基底が$\{|0\rangle, |1\rangle\}$という条件ならば、基底の2つの係数(確率振幅)のみで表すことができる。ただし、2つの係数のどちらが$|0\rangle$の係数か間違えないように順番の情報も必要だ。
複数の数値を順番を意識してまとめて表現するのに便利なもの。それはベクトルだ。

|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle ⇒
|\psi\rangle = \left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right)

過去の経緯から、2行1列の縦ベクトルで表す。1番目の要素は$|0\rangle$の確率振幅、2番目の要素は$|1\rangle$の確率振幅。

$|0\rangle, |1\rangle$もこの形で表せそうだ。

|0\rangle = \left(\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right),
|1\rangle = \left(\begin{matrix}0 \\ 1\end{matrix}\right)

先程と同じく1番目の要素は$|0\rangle$の確率振幅、2番目の要素は$|1\rangle$の確率振幅(なんか再帰になってる?)

このような量子ビットのベクトル表現を状態ベクトルという。

量子ビットの内積の計算式

量子ビットは以下のようにベクトルで表せる。

|\psi\rangle = \left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right),
|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1

この$\alpha, \beta$は複素数だ。

ここで2次元複素ベクトルの内積を以下のように定義できる。

|\psi\rangle = \left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right),
|\phi\rangle = \left(\begin{matrix}\gamma \\ \delta\end{matrix}\right) ⇒
|\psi\rangle\cdot|\phi\rangle = \alpha\gamma^* + \beta\delta^*

"$\cdot$"はとりあえず内積の記号として使っていて、"*"は複素数の「複素共役(虚数部の符号を反転したもの)」を取ることを表す。
計算結果は実数のスカラ(数値)になる。実数になる理由は、虚数と符号反転した虚数を掛けると実数になるから($i \times -i = 1$)

式を見ると1番目の要素同士のかけ算＋2番目の要素同士のかけ算になっている(片方は複素共役を取っているが)。
この式は$|\phi\rangle$のベクトルの縦横を交換して(転置するという)各要素の複素共役を取った1x2行列と、$|\psi\rangle$の2x1行列の行列積を計算するのと同じ式になる。

やってみる。
転置して複素共役を取ることを、エルミート共役を取ると言い、記号$\dagger$で表す。

|\phi\rangle = \left(\begin{matrix}\gamma \\ \delta\end{matrix}\right)
⇒エルミート共役を取る⇒
|\phi\rangle^\dagger = \left(\begin{matrix}\gamma^* & \delta^*\end{matrix}\right)

縦ベクトルに横ベクトルを左から掛けて行列の積を計算する(ベクトルの順番が大事)。

|\phi\rangle^\dagger|\psi\rangle =
\left(\begin{matrix}\gamma^* & \delta^*\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right)
= \alpha\gamma^* + \beta\delta^*

今後、$|\phi\rangle^\dagger$は$\langle\phi|$と書くことにする。

ディラックのブラケット記法というもので、右向きの$|\phi\rangle$は縦ベクトルで「ケット」、左向きの
$\langle\phi|$は横ベクトルで「ブラ」と読む。

左向きと右向きをくっつけたもの$\langle\phi|\phi\rangle$は「かっこ(英語でブラケット)」のように見えることからそう呼ぶらしい(ブラ・ケットの場合は真ん中の縦棒を1本にすることが多い)。

$\langle\phi|\psi\rangle$は、$|\psi\rangle$と$|\phi\rangle$のベクトルの内積を取ることを意味する。

まとめ

量子ビットの状態式は線形独立な基底$\{|0\rangle, |1\rangle\}$の線形結合になっている。

|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle

状態式は2次元複素ベクトルで表すことができる。1番目の要素は$|0\rangle$の確率振幅、2番目の要素は$|1\rangle$の確率振幅。

|\psi\rangle = \left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right), 
|0\rangle = \left(\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right),
|1\rangle = \left(\begin{matrix}0 \\ 1\end{matrix}\right)

ベクトル$|\psi\rangle$と$|\phi\rangle$の内積は、以下のように定義できる。

|\psi\rangle = \left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right),
|\phi\rangle = \left(\begin{matrix}\gamma \\ \delta\end{matrix}\right) のとき\\
内積\langle\phi|\psi\rangle
= |\phi\rangle^\dagger|\psi\rangle =
\left(\begin{matrix}\gamma^* & \delta^*\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right)
= \alpha\gamma^* + \beta\delta^*

最後に

力尽きたので一旦やめる。
説明が基底→線形結合の流れではなく、線形結合→基底の流れになった。最初に基底を説明するための流れがよくわからない。
次は基底の内積、外積かな。