別タブで開くバージョン
scriptを読み込んだら検索結果を表示するところに下記を挿入する。
<div class="gcse-searchresults-only"></div>
別タブで開かないバージョン
data-linkTarget="_self"を追加する。
<div class="gcse-searchresults-only" data-linkTarget="_self"></div>
公式ドキュメントの一覧ではlinkTargetとしか書いてないのですが、別の場所にちゃっかりプレフィックスdata-をつけてねと書いてあります。ちゃんと読まないとだめですね。
公式ドキュメント：https://developers.google.com/custom-search/docs/element