素数表から模様を作る

$n$ を素数として、座標 $P_n$

\begin{eqnarray}
P_n & = & \left( \frac{ \cos{n} }{r}, \frac{ \sin{n} }{r} \right)　\\
r & = & \log{(n+\alpha)} \\
\end{eqnarray}

とします。$r$ は適当な値の半径。$Mathematica$ で

Manipulate[Graphics[{Red, Point[
  Table[With[{x = Prime[n]}, {Cos[x], Sin[x]} /Log[x + r]], {n, p}]
]}], {p, 100, 1000000, 1}, {r, 10, 10000, 1}]

を実行してみたら綺麗な模様が出てきました。

上記は捻れているので、$\cos,\sin$ の引数 $x$ を少し弄って $\frac{10^{10}-850}{10^{10}}$ 倍してみると、だいぶ捻れが戻った。

周期性があるので

\begin{eqnarray}
x & = & n \times 71 \times 280 \times \frac{10^{21} - 84913671448038.\cdots}{10^{21}} \\
P_n & = & \left( \cos{x}, \sin{x} \right) \\
\end{eqnarray}

とすると

ListPlot[Table[With[{x = Prime[n], y = 71*280*(10^21 - 84913671448038)/(10^21)},
 {Cos[x y], Sin[x y]}], {n, 100000}]]

捻れ分の補正ができれば 1 箇所 $(1,0)$ 付近に集まりそうですが…
^{手作業で値を追い込むのは厳しい…}

追記： $71 \times 280 \times \cdots$ ではなく $710 \times \cdots$ でもよさそう。

というか $710 ≒ 113 \times 2\pi$ だった。