要するに

AWSのapi gatewayを使ったCORSをしている最中に、
FireFox（個人的にやりやすかった）で「○○がない」と拒否されたら

素直にapi gatewayのoptionメソッドのレスポンスヘッダーに追加しましょう。

小文字「access-control-allow-origin」を要求されているので、
キャメルケース「Access-Control-Allow-Origin」を追加しても意味ないよ。

用語解説

・api gateway
AWSのAmazon Api Gatewayを指す。
ApiGatewyへのリンク

・オリジン
オリジン = プロトコル + ドメイン + ポート番号
ttp://aaa.com:80 = ttp:// + aaa.com + :80
異なったオリジン間でのデータソース共有を指す。

CORSの例	オリジンが　同じ／違う
ttp://aaa.com/index.html ttp://aaa.com/search.html	同じ
ttp://aaa.com ttp://bbb.com	ドメインが違うから、オリジンも違う
ttp://localhost:80 ttp://localhost:8080	ポート番号が違うから、オリジンも違う

・CORS
クロスオリジンリソースシェアリング（Cross Origin Resource Sharing）
オリジンが異なる場合の、データ共有の方法を指す。
異なったオリジンのリソースをシェアして使いたいときに使う技術。外部APIの利用など。