結論

以下の形式のimgタグをTeamsのメッセージに埋め込みます。

<img itemtype="http://schema.skype.com/Emoji" itemid="使いたい絵文字のid" >

変数として定義しておくと使いやすいです。

すると、こんな風に絵文字つきのメッセージが届きます。
写真ではわかりませんが、にょきにょき動いています。

itemidの調べ方

やり方は色々ありますが、ブラウザ版Teamsを使うと楽だと思います。
itemidを知りたい絵文字を入力し、ブラウザの検証ツールでのぞくと見つかります。

猫が笑い泣きしている絵文字のitemidは1f639_catwithtearsofjoyのようです。