パーセプトロン

用語

入力値：$ x $
重みベクトル：$ w $
総入力：$ z = w_1x_1 + ... + w_mx_m = w^Tx $
しきい値：$ \theta $
活性化関数(単位ステップ関数、ヘビサイド関数):$ \phi $
(mathjaxのせいか数式が表示されない。githubだといける)
$$ \phi = \begin{eqnarray}\left{\begin{array{l}1(z\geq\theta) \-1(z<\theta)\end{array}\right.\end{eqnarray} $$
学習率：$ \eta $

パーセプトロンの学習規則

重みを0または値の小さい乱数で初期化
トレーニングサンプル$ x^{(i)} $ごとに以下の手順を実行
1. 出力値$ \hat{y} $を計算する
2. 重みを更新する

各重みの更新法

$$ w_j := w_j + \Delta w_j $$

誤差の算出

$$ \Delta w_j = \eta(y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})x_j^{(i)} $$
$ y^{(i)} $：本当のクラスラベル

$ \hat{y}^{(i)} $：予測されたクラスラベル

予測が当たった場合

重みは更新されない。

$$ \Delta w_j = \eta(1 - 1)x_j^{(i)} = 0 $$
$$ \Delta w_j = \eta(-1 - (-1))x_j^{(i)} = 0 $$

予測が当たらなかった場合

重みが更新される。

$$ \Delta w_j = \eta(-1 - 1)x_j^{(i)} = \eta(-2)x_j^{(i)} $$
$$ \Delta w_j = \eta(1 - (-1))x_j^{(i)} = \eta(2)x_j^{(i)} $$

インデックス0の場合

$ w_0 $ のみ違う計算式となる

$$ \Delta w_0 = \eta(-1 - output^{(i)}) $$
$$ \Delta w_1 = \eta(1 - output^{(i)})x_1^{(i)} $$

パーセプトロンの実装

import numpy as np

class Perceptron(object):
    """
    eta: 学習率(0.0<eta<1.0)
    n_iter: トレーニング回数
    """
    def __init__(self, eta=0.01, n_iter=10):
        self.eta = eta
        self.n_iter = n_iter
        
    def fit(self, X, y):
        """
        X: トレーニングデータ（pandas, 行にサンプル、列に特徴量）
        Y: 目的変数（pandas）
        """
        self.w_ = np.zeros(1 + X.shape[1])
        self.errors_ = []
        
        for ite in range(self.n_iter):
            #print('w:', self.w_)
            errors = 0
            for xi, target in zip(X, y):
                #print('xi:', xi)
                #重みw1,...,wmの更新
                predict = self.predict(xi)
                update = self.eta * (target - predict)
                #print('target:', target, ' predict:', predict, ' update:', update)
                self.w_[1:] += update * xi
                # 重みw0の更新
                self.w_[0] += update
                # 重みの更新が0でない場合は誤分類としてカウント
                error = int(update != 0.0)
                #print('error:', error)
                errors += error
            # 反復回数ごとの誤差を格納
            print(ite, ': ', errors)
            self.errors_.append(errors)
        return self
    
    def net_input(self, X):
        """総入力を計算"""
        result = np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]
        #print('w_', self.w_)
        #print('net_input_result:', result)
        return result
    
    def predict(self, X):
        """1ステップ後のクラスラベルを返す"""
        return np.where(self.net_input(X) >= 0.0, 1, -1)

トレーニングデータの可視化コード

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# irisデータを読み込み
df = pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data', header=None)
print(df.tail())

# 100行目までを抽出
y = df.iloc[0:100, 4].values
# 正解ラベルの変換
y = np.where(y == 'Iris-setosa', -1,1)
# 1行目と3行目を抽出する。
X = df.iloc[0:100, [0, 2]].values
# プロット
plt.scatter(X[:50,0], X[:50,1], color='red', marker='o', label='setosa')
plt.scatter(X[50:100,0], X[50:100,1], color='blue', marker='x', label='versicolor')
plt.xlabel('ガクの長さ[cm]')
plt.ylabel('花弁の長さ[cm]')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

実行結果

       0    1    2    3               4
145  6.7  3.0  5.2  2.3  Iris-virginica
146  6.3  2.5  5.0  1.9  Iris-virginica
147  6.5  3.0  5.2  2.0  Iris-virginica
148  6.2  3.4  5.4  2.3  Iris-virginica
149  5.9  3.0  5.1  1.8  Iris-virginica

トレーニング

ppn = Perceptron(eta=0.1, n_iter=10)
ppn.fit(X, y)
plt.plot(range(1, len(ppn.errors_) + 1), ppn.errors_, marker='o')
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Number of misclassifications')
plt.show()

実行結果

学習結果のプロット

from matplotlib.colors import ListedColormap

def plot_decision_regions(X, y, classifier, resolution = 0.02):
    # マーカーとカラーマップの準備
    markers = ('s', 'x', 'o', '^','v')
    colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'grey', 'cyan')
    cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])
    
    #決定領域のプロット
    #X[:, 0]とやるとPandasのdataframeから各要素の0番目を取得できる
    x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    #グリッドポイントの生成
    xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution), np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
    #予測実行
    z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
    #予測結果を元のグリッドポイントのデータサイズに変換
    Z = z.reshape(xx1.shape)
    #グリッドポイントの等高線のプロット
    plt.contourf(xx1,xx2,Z,alpha=0.4,cmap=cmap)
    #軸の範囲の指定
    plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
    plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())
    
    #クラスごとにサンプルをプロット
    for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
        plt.scatter(x=X[y == cl, 0], y=X[[y==cl, 1]], alpha=0.8, c=cmap(idx), marker=markers[idx],label=cl)
        
plot_decision_regions(X, y, classifier=ppn)
plt.xlabel('sepal length')
plt.xlabel('petal length')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()