(66)^2=4444-88みたいなやつ

　SNSで以下のようなものを見かけたので。

• $6^2=44-8$
• $66^2=4444-88$
• $666^2=444444-888$
  $\vdots$

まずはこの証明

　ある数 $d$ が $k$ 回つづく数を $f(d,k)$ とする。
　証明したい等式は $f(6,k)^2=f(4,2k)-f(8,k)$ である。

　このとき、$f(9,k)=999 \cdots 999=(1000\cdots000-1)=(10^k-1)$ であることを利用する。

　左辺を $L$、右辺を $R$ とすると、

\displaylines{
R = f(4,2k)-f(8,k) \\
= \frac{4}{9}(10^{2k}-1)-\frac{8}{9}(10^k-1) \\
= \frac{4}{9}(10^{2k}-2\cdot 10^k + 1) \\
= \frac{4}{9}(10^k-1)^2 \\
= \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{9}(10^k-1)^2 \\
= \frac{36}{81}(10^k-1)^2 \\
= \{\frac{6}{9}(10^k-1)\}^2 \\
= f(6,k)^2 = L
}

ほかにも成り立つ例

　ほかにも成り立つ例を調べたくなります。

　上の証明で使った $f$の定義をそのまま利用し、ある正の $1$ 桁の数 $p,q,r$ を用いて、

f(r,k)^2 = f(p,2k)-f(q,k)

　という等式が成り立つ条件を求める。

\displaylines{
R = f(p,2k)-f(q,k) \\
= \frac{1}{9}\{p(x^2-1)-q(x-1)\} \\
= \frac{1}{9}(px^2-qx-p+q) \\
}

　これが二乗のかたちとなるとき、すくなくとも判別式 $D=0$ である必要がある。

\displaylines{
D = 0 \\
(-q)^2-4p(-p+q) = 0\\
q^2-4pq+4p^2 = 0 \\
(q-2p)^2 = 0 \\
}

　つまり、$q=2p$ となるときである。これを $L,R$ に代入すると、

\{\frac{r}{9}(x-1)\}^2 = \frac{p}{9}(x-1)^2

　となり、題意を満たす。このとき、係数を比較すると、

\displaylines{
(\frac{r}{9})^2 = \frac{p}{9} \\
r^2 = 9p
}

　$p,r$ は正であるので、$r=3\sqrt{p}$ となる。

　つまり、ある $p$ を固定したときに、題意を満たすような、$q,r$ はひとつに定まり、

• $q = 2p$
• $r=3\sqrt{p}$

　である。このとき、$p,q$ が正の $1$ 桁の整数であるような組み合わせは、

• $(p,q,r)=(1,2,3)$
• $(p,q,r)=(4,8,6)$

　の $2$ つに限られる。

　以上の証明より、題意の計算法が成立するものは、

• $3^2 = 9 = 11-2$
• $33^2 = 1089 = 1111-22$
• $333^2 = 110889 = 111111-222$
  $\vdots$

　と、

• $6^2 = 36 = 44-8$
• $66^2 = 4356 = 4444-88$
• $666^2 = 443556 = 444444-888$
  $\vdots$

　の $2$ つのみであることがわかります。

定義を拡張する

　$1$ 桁の数というしばりをなくしても、繰り上がりが発生しない限りはそれなりに簡単に計算できます。

p=9 のとき

　$q=18,r=9$ となります。

• $9^2 = 81 = 99-18$
• $99^2 = 9801 = 9999-198$
• $999^2 = 998001 = 999999-1998$
  $\vdots$

p=25 のとき

　$q=50,r=15$ となります。

• $15^2 = 225 = 275-50$
• $165^2 = 27225 = 27775-550$
• $1665^2 = 2772225 = 2777775-5550$
  $\vdots$

更に拡張する

　整数というこだわりをなくして実数まで拡張すれば、より多くの関係がわかります。何の役に立つかは未知数ですが。

p=2 のとき

　$q=4,r=3\sqrt{2}\simeq4.2$ となります。

• $(4.2)^2 \simeq 17.6 \simeq 18 = 22-4$
• $(46.2)^2 \simeq 2134.4 \simeq 2178 = 2222-44$
• $(466.2)^2 \simeq 217342.4 \simeq 221778 = 222222-444$
  $\vdots$

　有効数字 $2$ 桁だとズレが著しいです。