new Date() と Date.parse() だけを禁止したい場合は amzn/eslint-plugin-no-date-parsing などが使えますが、 Date オブジェクトに生えている全てのメソッドも禁止したい場合は、以下のようなルールを書くことで実現できます。
（ESLint Flat Config を使う場合は適宜読み替えてください。）

eslintrc.json

{
  "rules": {
    "no-restricted-syntax": [
      "error",
      {
        "selector": "NewExpression[callee.name='Date']",
        "message": "Use dayjs instead."
      },
      {
        "selector": "CallExpression[callee.object.name='Date']",
        "message": "Use dayjs instead."
      }
    ]
  }
}

no-restricted-syntax というルールを使うことで実現しています。
こちらの記事に詳しい使い方が書いてあるので詳細は省きますが、このルールを使うことで特定の構文を禁止できるようになります。
（余談ですが http://estools.github.io/esquery/ は中々楽しいので、是非触ってみてください。）

また私のチームでは Day.js を使っているので、メッセージではそちらを使うよう促しています。

誰かの参考になれば幸いです。
（もっと良いやり方をご存知の方がいれば、コメントにてお教えください。）