正12角形の場合
半径１の円に内接する正12角形を考える。
12個の二等辺三角形の集合に分ける。
その二等辺三角形を半分にして、15°の直角三角形を考える。
正12角形の長さは2x12xSIN(15°)
ここで、公式より
\sin(15°)=\sin(45-30)=\sin(45)\cos(30)-\cos(45)\sin(30)
\sin(15°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}
-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}
=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
なので、正12角形の長さの半分(π)は
12\sin(15°)=12\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})
近似値で
3(2.449-1.414)=3.105
3.05 < 3.105
√6は覚えておこう
半角の公式
\sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}(0\le\theta\le\pi)
三倍角の公式
\sin(3\theta)=3\sin(\theta) -4\sin^3(\theta)
正８角形の場合
正8角形の長さは
16\sin(22.5°)
=16\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}
=16\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
=8\sqrt{2-\sqrt{2}}
手計算できないので、２乗して比較。
(8\sqrt{2-\sqrt{2}})^2
=64(2-\sqrt{2})\approx64\times0.586=37.504
(2\times3.05)^2=37.21<37.504
というわけで、3.05よりも大きい。
3.06でも成立
(2\times3.06)^2=37.4544<37.504
余弦定理で
八角形１辺の長さxは
x^2=1^2+1^2-2\times1\times1\times\cos45°=2-\sqrt{2}
x=\sqrt{2-\sqrt{2}}
これの4倍と3.05との比較をする。
２乗して比較。
4^2(2-\sqrt{2})\approx16\times0.586=9.376>3.05^2=9.3025
半角の公式か、余弦定理を覚えていれば、解ける。
備考
\sin(18°)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\approx0.309
\sin(10°)=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{4}\approx0.174