平均リターンとCAGRの違い

Posted at 2025-08-04

はじめに

過去10年平均株価リターンが15%であったといったときに、では株価が10年で$1.15^{10} = 4.1$倍になったのかというとそうではない。

実際には、せいぜい $(1+0.15-0.15^2/2)^{10} = 3.7$ 倍程度。

（甘めにシャープレシオ1を仮定してボラを15%とおいた場合）。

これは、一般的な株価リターン（年率換算）が CAGR ではなく、年次（あるいは月次）リターンの平均という形で計算されるから。

そのため、平均リターンをCAGRと混同すると、実体よりも高めの数字に見えてしまうことになるので注意が必要。

例えば、株価が期間1で25%上昇し、その後、期間2で元の水準に戻ったとき

時点	0	1	2
株価	100	125	100
リターン	-	+25%	-20%

最終的に株価は変わっていないが、この2期間での平均リターンは+2.5%になる。

一方で、以下のように下がってから上がった場合

時点	0	1	2
株価	100	80	100
リターン	-	-20%	+25%

この場合も最終的に株価変動はないが、この2期間でプラスの平均リターン（+2.5%）となっている。

以上の例から、平均リターンで考えるとボラティリティがある分、数字が高めになるということが理解できる。これは、株価の上昇・下落の効果が非対称であるため。

なお、どちらの例もCAGRは0%になる。

では、両者にはどのくらいの差が生じるのか。

結論からいうと以下であることが示せる。

幾何平均リターン ≈ 算術平均リターン − (1/2) × 分散

すなわち

r_g ≈ r̄ − (1/2)σ²

ここで、

算術平均リターン（単利）：

\bar{r} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} r_t

幾何平均リターン（複利）：

r_g = \left( \prod_{t=1}^{T} \left( 1 + r_t \right) \right)^{\frac{1}{T}} - 1

幾何平均を対数変換：

\log\left( 1 + r_g \right) = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \log\left( 1 + r_t \right)

テイラー展開：

\log\left( 1 + r_t \right) \approx r_t - \frac{1}{2} r_t^2 + \frac{1}{3} r_t^3 - \cdots

期待値をとると：

\mathbb{E}\left[ \log\left( 1 + r_t \right) \right] \approx \bar{r} - \frac{1}{2} \left( \sigma^2 + \bar{r}^2 \right)

\left( \text{※ } \mathbb{E}\left[ r_t^2 \right] = \operatorname{Var}(r_t) + \left( \mathbb{E}[r_t] \right)^2 = \sigma^2 + \bar{r}^2 \right)

近似式：

\log\left( 1 + r_g \right) \approx \bar{r} - \frac{1}{2} \left( \sigma^2 + \bar{r}^2 \right)

さらに、リターンが小さいとき：
（すなわち $r_g \approx \log(1 + r_g)$）
```
r_g \approx \bar{r} - \frac{1}{2} \left( \sigma^2 + \bar{r}^2 \right)
```
そして、 $\bar{r}^2$ が無視できるほど小さいとき：
```
r_g \approx \bar{r} - \frac{1}{2} \sigma^2
```