相関係数の検定と、回帰係数の検定は全く同じ

Posted at 2025-08-04

ある変数に対して、この変数は線形の関係があるのか？

それを確認したいとき、回帰係数のt値を見ても良いし、相関係数の検定をしても良い。

■ 単回帰分析における係数のt値とは？

単回帰モデル：

$$
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i
$$

このとき、回帰係数 $\hat{\beta}_1$ は以下で定義されます：

\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}

この分子は共分散、分母は $X$ の分散なので、以下のように表せます：

$$
\hat{\beta}_1 = r \cdot \frac{s_Y}{s_X}
$$

ここで：

回帰係数 $\hat{\beta}_1$ の標準誤差は：

$$
\text{SE}(\hat{\beta}_1) = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2}} = \frac{\hat{\sigma}}{s_X \sqrt{n - 1}}
$$

ここで：

これを使うと：

$$
\text{SE}(\hat{\beta}_1) = \frac{\sqrt{1 - r^2} \cdot s_Y}{s_X \sqrt{n - 2}}
$$

t統計量は：

$$
t = \frac{\hat{\beta}_1}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)} = \frac{r \cdot \frac{s_Y}{s_X}}{\frac{\sqrt{1 - r^2} \cdot s_Y}{s_X \sqrt{n - 2}}}
$$

分母分子で $s_Y / s_X$ が約分され、次のようになります：

$$
t = \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}} \cdot \sqrt{n - 2}
$$

これはまさに、相関係数 $r$ に対するt検定の統計量と完全に一致します：

$$
t = \frac{r \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^2}}
$$

サンプル数によって、統計的優位性があると言える相関係数の水準は異なる。

例えば $t=2$ の水準であれば、以下のように求められる相関係数の大きさがわかる。

t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}>2 \rightarrow r>\frac{2}{\sqrt{n-s+4}}

片側2.5%（両側5%）の検定で優位性を確認するための相関係数の最小値は以下の通り。