アインシュタイン方程式

\begin{equation}
G_{\mu\nu}=
\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}
\end{equation}

G_{\mu\nu}=
\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

\begin{equation}　と　\end{equation}　は数式の始まりと終わりを表します。
これがないとエラーが出るので注意。
以下省略します。

アインシュタインテンソル

G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R^{\alpha}{}_{\alpha}

G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R^{\alpha}{}_{\alpha}

リッチテンソル

R_{\mu\nu}\equiv \partial_{\alpha} \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu} - \partial_{\mu} \Gamma^{\alpha}{}_{\nu\alpha} + \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu} \Gamma^{\beta}{}_{\beta\alpha} - \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\beta} \Gamma^{\beta}{}_{\nu\alpha}

R_{\mu\nu}\equiv \partial_{\alpha} \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu} - \partial_{\mu} \Gamma^{\alpha}{}_{\nu\alpha} + \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu} \Gamma^{\beta}{}_{\beta\alpha} - \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\beta} \Gamma^{\beta}{}_{\nu\alpha}

クリストッフェル記号

\Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu}　= \frac{1}{2} g^{\mu\nu} (\partial_{\mu} g_{\nu\beta} + \partial_{\nu} g_{\mu\beta} - \partial_{\beta} g_{\mu\nu})

\Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu}　= \frac{1}{2} g^{\mu\nu} (\partial_{\mu} g_{\nu\beta} + \partial_{\nu} g_{\mu\beta} - \partial_{\beta} g_{\mu\nu})

ビアンキの恒等式

\nabla_{\lambda} R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma} + \nabla_{\rho} R^{\mu}{}_{\nu\sigma\lambda} + \nabla_{\sigma} R^{\mu}{}_{\nu\lambda\rho} = 0

\nabla_{\lambda} R^{\mu}{}_{\nu\rho\sigma} + \nabla_{\rho} R^{\mu}{}_{\nu\sigma\lambda} + \nabla_{\sigma} R^{\mu}{}_{\nu\lambda\rho} = 0

リーマンテンソル

R_{\alpha\beta\gamma\sigma} = \frac{1}{2}(\partial_{\alpha}\partial_{\sigma}h_{\beta\gamma} + \partial_{\beta}\partial_{\gamma}h_{\alpha\sigma} - \partial_{\beta}\partial_{\sigma}h_{\alpha\gamma} - \partial_{\alpha}\partial_{\gamma}h_{\beta\sigma})

\begin{equation}
R_{\alpha\beta\gamma\sigma} = \frac{1}{2}(\partial_{\alpha}\partial_{\sigma}h_{\beta\gamma} + \partial_{\beta}\partial_{\gamma}h_{\alpha\sigma} - \partial_{\beta}\partial_{\sigma}h_{\alpha\gamma} - \partial_{\alpha}\partial_{\gamma}h_{\beta\sigma})
\end{equation}

線形化されたアインシュタインテンソル

G_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(-\Box\psi_{\mu\nu} + \partial_{\alpha}\partial_{\mu}\psi^{\alpha}{}{\nu} + \partial_{\alpha}\partial_{\nu}\psi^{\alpha}{}{\mu} - \eta_{\mu\nu}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}\psi^{\alpha\beta})

G_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(-\Box\psi_{\mu\nu} + \partial_{\alpha}\partial_{\mu}\psi^{\alpha}{}{\nu} + \partial_{\alpha}\partial_{\nu}\psi^{\alpha}{}{\mu} - \eta_{\mu\nu}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}\psi^{\alpha\beta})

線形化されたアインシュタイン方程式

\Box\psi_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

\begin{equation}
\Box\psi_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}
\end{equation}

参考文献

Bernard Schutz.江里口良治・二間瀬敏史　共訳
『シュッツ相対論入門』丸善株式会社　第２版,2010

奥村/晴彦,黒木裕介
[改訂第7版]LaTeX2ε美文書作成入門　技術評論社，2017