まとめ

・MacBook Air（early 2015）とLGディスプレイ（29UM59-P）は相性問題で本来ウルトラワイド出力できない
・システムパッチでの解決に失敗したが、SwitchResX（シェアウェア）を用いて成功した
・MacユーザーでこれからLGのウルトラワイドディスプレイを買う人は所持Macの相性を予め確認して、可能ならDisplayportのあるゲームモデルを買うと良いと思います

相性問題でウルトラワイド出力できない！

・Macでは「Displayportではウルトラワイドが使えるがHDMIではウルトラワイド出力非対応」
・廉価版の29UM59-Pは入力端子がHDMI端子×2のみで、Displayportがない
という理由で、このままではMBA mid 2012で29UM59-Pをウルトラワイド出力することはできません。

私の環境

・OS: Mac OS Sierra バージョン10.12.6
・PC: MacBook Air (13-inch, Early 2015)
PCおよびシステムの詳細スペックは以下を参考にどうぞ（3枚目は後述のSwitchResXがシステムレポートにうつりこんでます）

・ディスプレイ： 29UM59-P
・PC→ディスプレイの接続方法：この中華ケーブル一本で接続
・クラムシェルモードで使用
・使用ソフト: SwitchResX4（後述、10日間無料試用版）

パッチ施行後、起動不能に

調べてみた

この問題はハード性能の問題というよりシステム側でリミットがかけられてしまうことによるものだそうで、そのためサードパーティ製のシステムパッチで解決したという報告（このブログ記事の後半で紹介されています）がありました。

やっちまった

やってみたんだけど、パッチ後通常起動しなくなったためリカバリモードで起動の上タイムマシンで復元しました。うちのMBA固有の問題の可能性もあります＆このパッチでうまくいったという報告もある（英語・日本語）ため、バックアップを取った上で自己責任でならば、試されることをオススメします。

SwitchResX（シェアウェア、1980円　※今回は10日間無料の試行版でトライ）で解決

途方にくれていたところ、海外フォーラムのQ&A記事でSwitchResXというシェアウェアが激推しされており、トライ。成功しました。
→SwitchResXのインストール&基本的な使い方（日本語）
実際にSwitchResXを用いてLGの当該ディスプレイにウルトラワイド出力する方法はこのサイト（英文）の前半に従って進めました。SIPを無効化（※自己責任）した後、SwitchResXのコンフィグから「カスタム設定の追加」を選択、すると設定画面が開くのでチェックボックスの有無から各項目の値までこのサイト（英文）の前半に載っている設定ウィンドウのスクショ通りに設定しましょう。
設定後、再起動すればMacの画面がウルトラワイド出力されているはずです。

How to get the LG 29UM57 Monitor working CORRECTLY with your Mac
こちらは動画解説（同じ方法）です。ご参考にどうぞ。

今回は以上の方法でうまくいきました。同じ症状でお悩みの方の参考になれば幸いです。
（MacユーザーでこれからLGのウルトラワイドディスプレイを買う人は所持Macの相性を確認して買うか、はじめからDisplayportのあるゲームモデルを買いましょう）

今後の課題

同じMBA early 2015 の Boot Camp＋Winodws10 環境ではウルトラワイド出力できないので、そちらはまた別の対策を考える必要がありそうです。

追伸

結局、３４型ウルトラワイドがほしいです