結論は、下記のように書く。

<select value={selected} onChange={(e:any) => setSelected(e.target.value)}>
    {getSelectItems.map( (getSelectItem:any) => (
        <option key={getSelectItem.item} value={getSelectItem.id}>
            {getSelectItem.item}
        </option>
    ))}    
</select>

ポイントは、selecタグに、"value"という要素を付与し、そこの値に現在の選択された値がくるようする。
この例では、変数selectedが現在の選択された値になっている。

optionタグのvalueが、selectタグのvalueの値と一致するとき、optionタグが選択(checked)
された状態になる。