切上と切捨の話。
ここ最近ずーっと頭のなかにあったもやもやがようやく取れた！！！
ので記事にしてみる。

結論

ceil(A)-1 == floor(A-1)が成立する条件は、

Aが整数の場合

です。
といってもなんのこっちゃわからん！となると思うので例題。

例題

1:2.8~4.2で整数は何個あるでしょう？
2:2.0~4.2で整数は何個あるでしょう？
3:14~21で5の倍数は何個あるでしょう？
4:10~21で5の倍数は何個あるでしょう？
5:9mの丸太を3mずつ切り続けられるまで切る時、切れ目は何個あるでしょう？
6:9mの丸太を2mずつ切り続けられるまで切る時、切れ目は何個あるでしょう？
7:9mの丸太を1mずつ切り続けられるまで切る時、切れ目は何個あるでしょう？

解説1

1:2.8~4.2で整数は何個あるでしょう？

この問題は、
「2.8」を切上げて「3」
「4.2」を切捨てて「4」
とすることで

3~4で整数は何個あるでしょう？

という問題に帰着できます。

よって、4 - 3 + 1(調整) = 2個  が答えとなります。

解説2

2:2.0~4.2で整数は何個あるでしょう？

これは左の切上げの部分が「2」と整数なので簡単ですね！

よって、4 - 2 + 1(調整) = 3個  が答えとなります。

解説3

3:14~21で5の倍数は何個あるでしょう？

この問題は大きく2つの解法があると思います。

解法1(1を引いて切捨)

累積和の時の考え方に似ていますが、
「21」の5の倍数の個数 - 「13」(=14-1)の5の倍数の個数

と考えることで、

21/5の切捨 = 4
13/5の切捨 = 2

よって、4 - 2 = 2個  が答えとなります。

解法2

14~21を5で割って整数の数を数える問題に帰着させるやり方です。
すると、
1:2.8~4.2で整数は何個あるでしょう？
と同じ問題になります。

よって、4 - 3 + 1(調整) = 2個  が答えとなります。

解説4

4:10~21で5の倍数は何個あるでしょう？

解法1(1を引いて切捨)

9/5の切捨 = 1

よって、4 - 1 = 3個  が答えとなります。

解法2

10~21を5で割って整数の数を数える問題に帰着させると、
2:2.0~4.2で整数は何個あるでしょう？
と同じ問題になります。

よって、4 - 2 + 1(調整) = 3個  が答えとなります。

ここまでのまとめ

1:2.8~4.2で整数は何個あるでしょう？
2:2.0~4.2で整数は何個あるでしょう？
3:14~21で5の倍数は何個あるでしょう？
4:10~21で5の倍数は何個あるでしょう？

3や4のような問題をとく場合は、解法1を使えばすべて切捨だけで考えることができます。
また、切上は調整分の考慮が必要ですし、
プログラム的にも、pythonでは切捨を//のみで表すことができるので、できればすべて解法1の「1を引いて切捨」で処理したいです。

test.py

# 3:14~21で5の倍数は何個あるでしょう？
# 解法1(1を引いて切捨)
ans = 21//5
ans -= 13//5
print(ans) #2

# 解法2(切上-1)
import math
ans = 21//5
ans -= math.ceil(13/5)-1 #ans -= -(-13//5)-1とするのも一つ。
print(ans) #2

しかし・・・

小数の場合は、「1を引いて切捨」が使えない！！！

です。
実際に試してみましょう。
答え「2」
となるはずの1問目の問題を解法1,2でそれぞれ解いてみます。

test.py

# 1:2.8~4.2で整数は何個あるでしょう？
# 解法1(1を引いて切捨)
ans = 4.2//1
ans -= 1.8//1
print(ans) #3.0 →本当は2が正しい！！！！！！！！！！！

# 解法2(切上-1)
import math
ans = 4.2//1
ans -= math.ceil(2.8/1)-1
print(ans) #2.0 →正しい結果となった。

改めて結論

ceil(A)-1 == floor(A-1)が成立する条件は、

Aが整数の場合

です。

1:2.8~4.2で整数は何個あるでしょう？
2:2.0~4.2で整数は何個あるでしょう？
3:14~21で5の倍数は何個あるでしょう？
4:10~21で5の倍数は何個あるでしょう？

1→「2.8」が小数なので、ceil(A)-1 == floor(A-1)は成り立ちません。
よって、切上を素直に使いましょう。
小数の世界に「1」という(次元の違う)整数を勝手に引いたりしたらそれはおかしくなるわ！

2,3,4→「2.0」「14」「10」が整数なので、ceil(A)-1 == floor(A-1)が成り立ちます。
よって、「1を引いて切捨」の考えが可能です！！！
※もちろん、切上を使っても解けます。

解説5,6,7

5:9mの丸太を3mずつ切り続けられるまで切る時、切れ目は何個あるでしょう？
6:9mの丸太を2mずつ切り続けられるまで切る時、切れ目は何個あるでしょう？
7:9mの丸太を1mずつ切り続けられるまで切る時、切れ目は何個あるでしょう？

考察すると、切れ目の個数は「切上-1(調整)」で求めることができるとわかります。
そして、「切上-1」といえば「1を引いて切捨」です！
今回は「9」が整数なため、「1を引いて切捨」で答えを求めることができます！！！

よってそれぞれ5,6,7の答えは、
# 5
8//3 = 2
# 6
8//2 = 4
# 7
8//1 = 8
となります！！！

すごい！！！
この凄さ、感動！！！伝わるかな・・・伝わってほしい！！！

おまけ(練習問題)

ぜひ解いてみましょう！
ABC131 C - Anti-Division （Diff：518）
ABC174 E - E - Logs （Diff：1227）

おわり！