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・　ベルヌーイのスケート曲線

ベルヌーイのスケート曲線

スケート曲線の式は、こんな感じです　どんな風かはすぐには想像できないですが、

下のwikipediaのサイトにある動画では、こんな風に双曲線を元に図式化してあります

双曲線の接線（青い太い線）に、原点から接線（赤い太い線）をおろしていき、交差した点がスケート曲線（細い赤い線）になるようです　原点と青い太い線の距離が最も短くなる点ということですね

ベルヌーイのスケート曲線についてはリンクの説明をお読みください

・　ベルヌーイのスケート曲線（日本語）

・　Lemniscate_of_Bernoulli (English)

名前の由来

数学者のヤコブ・ベルヌーイさんの名前がついています　ヤコブ・ベルヌーイさんとヨハン・ベルヌーイさんは、兄弟で有名な数学者だそうですが、ベルヌーイさんの家系は、ベルヌーイ試行とベルヌーイ数、ベルヌーイの法則など、たくさんあって何かの時に聞いたことがありますね

描画

さあ、描いてみましょう　手元にMATLABがあるので、それを使ってプロットしています　コードは図の後に付けてます角度（theta）なので t を使って作ります

bernoulli


clear;

t = 0:.0001:pi * 2;

r = @(t) sqrt(cos(2*t) ) ;

figure;
plot(r(t).*cos(t), r(t).*sin(t), '.');
axis equal;
axis off;

少し変形して花のバリエーションを作ってみました　

「スケート曲線」なので、ほんとは角度を狭めて　∞　（無限のマーク）のとこだけ描くものなのかもしれませんが、360° ( 2 × π )にしたら四葉のクローバー型になりました

original


clear;

t = 0:.0001:pi * 2;

func = @(t) sqrt(cos(2*t) ) ;

rsqared = func(t);

r = sqrt(rsqared);

figure;
plot(r.*cos(t), r.*sin(t), '.');
axis equal;
axis off;

abs（absolute）をひとつ入れると花弁が同じ大きさに
なお、デフォルトで、sqrtから先の計算には複素数の変数が使われてます

version2


clear;

t = 0:.0001:pi * 2;

func = @(t) sqrt(cos(2*t) ) ;

rsqared = func(t);

r = sqrt(abs(rsqared));

figure;
plot(r.*cos(t), r.*sin(t), '.');
axis equal;
axis off;

45° 回転した場合 cos => sin　に変えるとこんな風に回転します

rotated


clear;

t = 0:.0001:pi * 2;

func = @(t) sqrt(sin(2*t) ) ;

rsqared = func(t);

r = sqrt(rsqared);

figure;
plot(r.*cos(t), r.*sin(t), '.');
axis equal;
axis off;

originalをもとに、菊の花にしてみました（季節柄）

chrysanthemum

clear;

t = 0:.0001:pi * 8;

func = @(t) sqrt(cos(2*t) ) ;

rsqared = func(t);

r = sqrt(rsqared);

figure;
plot(r.*cos(t/4), r.*sin(t/4), '.');
axis equal;
axis off;

クリスマスまでには、これを利用して立体のモミの木を作ってみる予定です