微分からプログラムへ：SDL2による落下運動のシミュレーション

目的

自由落下の公式を理解した上で、C言語にて実装します。

自由落下の運動方程式と数値解法

基本パラメータ

• $v$: 速度
• $y$: 位置
• $g$: 重力加速度

自由落下の運動方程式

$$
\frac{dv}{dt} = g, \quad \frac{dy}{dt} = v
$$

微分の定義から数値解法への導出

速度の更新式

微分の定義：
$$
\frac{dv}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t}
$$

近似式：
$$
g \approx \frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t}
$$

$$
g \cdot \Delta t \approx v(t+\Delta t) - v(t)
$$

よって、
$$
v(t+\Delta t) \approx v(t) + g \cdot \Delta t
$$
即ち、次の時刻の速度は、今の速度に重力加速度×△tを足したものとなります。

位置の更新式

微分の定義：
$$
\frac{dy}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{y(t+\Delta t) - y(t)}{\Delta t}
$$

近似式：
$$
v(t) \approx \frac{y(t+\Delta t) - y(t)}{\Delta t}
$$

$$
v(t) \cdot \Delta t \approx y(t+\Delta t) - y(t)
$$

よって、
$$
y(t+\Delta t) \approx y(t) + v(t) \cdot \Delta t
$$
即ち、次の時刻の位置は、今の位置に速度×△tを足したものなります。

これらの式をはC言語で以下の様に表せます。

v += g * dt;
y += v * dt;

C言語による実装

test@test-fujitsu:~/kaihatsu/butsuri$ gcc bouncing_ball.c -o bouncing_ball `sdl2-config --cflags --libs`
test@test-fujitsu:~/kaihatsu/butsuri$ ./bouncing_ball 

bouncing_ball.c

#include <SDL2/SDL.h>
#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
    SDL_Init(SDL_INIT_VIDEO);

    //400×400ピクセルのウィンドウを画面中央へ配置
    SDL_Window* window = SDL_CreateWindow("Bouncing Ball",
        SDL_WINDOWPOS_CENTERED, SDL_WINDOWPOS_CENTERED,
        400, 400, 0);

    SDL_Renderer* renderer = SDL_CreateRenderer(window, -1, SDL_RENDERER_ACCELERATED);

    double y = 0.0; // 球の 縦方向の位置（高さ）0 はウィンドウの上端、400 が下端（ウィンドウの高さ）
    double v = 0.0; // 球の 縦方向の速度（ピクセル/秒）
    double dt = 0.02; // 0.02秒 = 20ミリ秒ごとに物理計算する
    double g = 200.0;   // ピクセル/s^2
    double e = 0.8; // 反発係数 1.0 = 反発完全、0 = 跳ねない
    int ball_radius = 10; // 球の 半径（ピクセル） 描画や衝突判定に使う
    int height = 400; // ウィンドウの 高さ（ピクセル）

    int running = 1;
    SDL_Event event;

    while (running) {
        while (SDL_PollEvent(&event)) { // 「×」押下時終了の処理
            if (event.type == SDL_QUIT) running = 0;
        }

        // 更新
        v += g * dt;
        y += v * dt;

        // 跳ね返り
        // 「球の下端が地面（ウィンドウの底）より下に行ったら」という条件
        // 球の半径分を引くことで、球の中心ではなく球の下端で跳ね返るように調整
        if (y > height - ball_radius) {
            y = height - ball_radius;
            // -v … 速度の向きを逆にする
            // *e …衝突で失われる運動エネルギーを表す
            v = -v * e;
        }
 
        // 描画
        
        // 1コマ前で描画した正方形を塗り潰す
        SDL_SetRenderDrawColor(renderer, 0, 0, 0, 255); // 描画色を設定 R=0 G=0 B=0 透明度=255(不透明)
        SDL_RenderClear(renderer); // 塗り潰す

        // 正方形を描画する
        SDL_SetRenderDrawColor(renderer, 255, 0, 0, 255); // 赤 = 255
        // SDL_Rectは矩形用の構造体
        // x = 200 - ball_radius → ウィンドウ横中央に球の中心を合わせる
        // y = (int)y - ball_radius → 球の縦位置を描画用に調整
        // w = ball_radius*2 → 幅 = 直径
        // h = ball_radius*2 → 高さ = 直径
        SDL_Rect ball = {200 - ball_radius, (int)y - ball_radius, ball_radius*2, ball_radius*2};
        SDL_RenderFillRect(renderer, &ball);

        SDL_RenderPresent(renderer); // 描画した内容を画面に表示する

        SDL_Delay((int)(dt*1000));
    }

    SDL_DestroyRenderer(renderer);
    SDL_DestroyWindow(window);
    SDL_Quit();
    return 0;
}

筆者の環境

• OS: Ubuntu 22.04.5 LTS (Jammy Jellyfish)
  Linux test-fujitsu 6.8.0-87-generic x86_64 GNU/Linux

• Cコンパイラ: GCC 11.4.0
  gcc version 11.4.0 (Ubuntu 11.4.0-1ubuntu1~22.04.2)

• SDL2ライブラリ: 2.0.20
  pkg-config --modversion sdl2 → 2.0.20