※注意！
この記事は2020年1月31日現在の情報です。今後Qiita記事上での情報更新は行いませんので、最新の情報は
GeoPandasのインストールに失敗した場合の対処法（Fiona/GDALのエラー + Rtreeのインストール） - Ushitora Lab.
をご確認ください。
また、コメント・不具合報告等も↑にお願いいたします。
本文
Pythonの環境によっては、pipを用いたGeoPandasのインストールに失敗するみたいです。
私は失敗しました。
というわけで、解決策を記録しておきます。
（この記事では、GeoPandasのインストール中に"Fiona"関連のエラーが生じた場合の対処法について述べています。）
Python環境
今回の手順では、Python 3.7.5を使用しています。基本的に3.7系なら動きますので、Pythonのインストールがまだの場合は、こちらからインストールしてください。
https://www.python.org/downloads/release/python-375/
※別の系のPythonでも、多分、インストールに用いるファイル名の「37」という部分をバージョンに合わせて変更すればOKだと思います。
また、同時にpipのインストールもお願いします。
https://qiita.com/suzuki_y/items/3261ffa9b67410803443
GeoPandasのインストールに必要なもの
このページを見ているということは、一度GeoPandasのインストールに失敗していると思います。
その際、Fionaというモジュールについてのエラーメッセージが出たのではないでしょうか？
（もしそうでなければ、このページの内容では解決できないかもしれません）
GeoPandasにはFionaが必要で、これが無いとインストールに失敗します。
そして、FionaにはGDALというモジュールが必要なので、これが無いとFionaのインストールにも失敗します。
というわけで、
GDAL
↓
Fiona
↓
GeoPandas
の順にインストールしていきましょう。
ただし、このインストールはpipからではうまくいきません。
GDALのインストール
以下のサイトから、GDAL‑3.0.3‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whlをダウンロードしてください（32bit PCの場合はGDAL‑3.0.3‑cp37‑cp37m‑win32.whl）。「3.0.3」の部分は変更されるかもしれません。
https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#gdal
ファイルを適当なフォルダに置き、以下のコマンドでインストールします。
python -m pip install c:/python/codes/geo/GDAL-3.0.3-cp37-cp37m-win_amd64.whl
ここでは、C:/python/codes/geoにファイルを置いています。
Fionaのインストール
GDALと同様に、以下のサイト（GDALと同じページです）から、Fiona‑1.8.13‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whlをダウンロードしてください（32bit PCの場合はFiona‑1.8.13‑cp37‑cp37m‑win32.whl）。「1.8.13」の部分は変更されるかもしれません。
https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#fiona
ファイルをGDALと同じフォルダに置き、以下のコマンドでインストールします。
python -m pip install c:/python/codes/geo/Fiona-1.8.13-cp37-cp37m-win_amd64.whl
GeoPandasのインストール
以上で準備が整いました。
pip install geopandas
でGeoPandasがインストールできるはずです。
（おまけ）Jupyterのインストール
GeoPandasを用いた分析には、Jupyter Notebookを用いるのが便利です。
pip install jupyter
でインストールしておきましょう。
分析を行いたいフォルダに移動し、
jupyter notebook
で起動できます。
（追記）Rtreeのインストール
GeoPandasを使っていく中で、「Rtree」というモジュールが必要になるかもしれません。
私はなりました。
しかし、これもpipではうまくいかないので、FionaやGDALと同じサイトを利用します。
Rtree-0.9.3‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whlをダウンロードしてください（32bit PCの場合はRtree-0.9.3‑cp37‑cp37m‑win32.whl）。「0.9.3」の部分は変更されるかもしれません。
https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#rtree
ファイルをGDAL/Fionaと同じフォルダに置き、以下のコマンドでインストールします。
python -m pip install c:/python/codes/geo/Rtree-0.9.3‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whl