10で割ると8あまり、15で割ると13あまり、25で割ると23あまる数。小さい方から3番目の数は？
▶ 条件を式で：
- $x \equiv 8 \pmod{10}$
- $x \equiv 13 \pmod{15}$
- $x \equiv 23 \pmod{25}$
それぞれあと2で割り切れる形なので：
$$
x + 2 は10, 15, 25の公倍数
\Rightarrow \text{最小公倍数 } = 150
$$
$$
x + 2 = 150n \Rightarrow x = 150n - 2
$$
▶ 小さい順に並べる：
- $n = 1 \Rightarrow x = 148$
- $n = 2 \Rightarrow x = 298$
- $n = 3 \Rightarrow x = 448$
✅ 答え：448
3で割っても4で割っても5で割っても2あまる数で、60より大きく70より小さい数は？
▶ 余りを無視した基本式：
$$
x \equiv 2 \pmod{3},\quad x \equiv 2 \pmod{4},\quad x \equiv 2 \pmod{5}
\Rightarrow x - 2 \text{ は }3, 4, 5の公倍数
$$
最小公倍数 $\text{LCM}(3,4,5) = 60$
$$
x - 2 = 60n \Rightarrow x = 60n + 2
$$
▶ 範囲：60より大きく70より小さい
$$
n = 1 \Rightarrow x = 62
$$
✅ 答え：62
34で割ると4あまり、48で割ると3あまる数をすべて書くと？
▶ 条件を式に：
$$
x \equiv 4 \pmod{34},\quad x \equiv 3 \pmod{48}
$$
これを連立合同式で解きます。
$$
x = 34a + 4 = 48b + 3
\Rightarrow 34a - 48b = -1
$$
これを拡張ユークリッドの互除法や連立で探すと
最小の正の解は：
$$
x = 244,\ 868,\ 1492,\ldots
\Rightarrow \text{公差はLCM(34,48) = 816}
$$
✅ 答え：244, 868, 1492, ...（816ずつ増える）
90, 118, 160 をある数で割るとあまりが同じになる。そういう数のうちすべて求めると？
▶ 同じあまり → 差に注目
$$
118 - 90 = 28,\quad 160 - 118 = 42,\quad 160 - 90 = 70
$$
つまり、その数は 28, 42, 70の公約数
→ 公約数（すべて）を求める。
▶ 公約数の共通部分を調べる：
- 約数(28)：1, 2, 4, 7, 14, 28
- 約数(42)：1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
- 約数(70)：1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
→ 共通部分：1, 2, 7, 14
✅ 答え：1, 2, 7, 14