● 二酸化炭素吸収モデル（CO₂濃度変化）
$$
\frac{dC}{dt} = -k_1 \cdot C(t)
$$
- $C(t)$：葉内部のCO₂濃度
- $k_1$：CO₂の吸収速度定数（光の強さや気孔の開度に依存）
● 光合成速度モデル（光強度に対する飽和）
$$
P(t) = \frac{P_{\text{max}} \cdot I(t)}{K + I(t)}
$$
- $P(t)$：光合成速度（例：グルコース生産速度）
- $I(t)$：光強度（μmol photons m⁻² s⁻¹）
- $K$：半飽和定数（ミカエリス・メンテン型）
🌱 ロジスティック成長モデル（Logistic Growth）
環境収容力 $K$ を考慮した個体数の成長モデル：
$$
\frac{dN}{dt} = r N \left(1 - \frac{N}{K} \right)
$$
- $N(t)$：時刻 $t$ における個体数（population）
- $r$：内的成長率（intrinsic growth rate）
- $K$：環境収容力（carrying capacity）
☑︎ 初期値 $N(0) = N_0$ を与えれば解析解あり：
$$
N(t) = \frac{K N_0 e^{rt}}{K + N_0 (e^{rt} - 1)}
$$
🐺 捕食モデル（Lotka–Volterra Predator-Prey Model）
被食者（獲物）と捕食者の相互作用を記述する連立微分方程式：
$$
\begin{cases}
\displaystyle \frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y \[8pt]
\displaystyle \frac{dy}{dt} = \delta x y - \gamma y
\end{cases}
$$
- $x(t)$：被食者（Prey）の個体数
- $y(t)$：捕食者（Predator）の個体数
- $\alpha$：被食者の自然増殖率
- $\beta$：捕食による被食者の減少率
- $\delta$：捕食によって得られる捕食者の成長率
- $\gamma$：捕食者の自然死亡率
☑︎ 解は閉じた軌道（周期解）を持つことがあり、フェーズポートレートで軌跡が観察されます。
🔋 ニューロンの膜電位変化（活動電位の時間変化）
最も単純なモデルは指数関数的な立ち上がり・立ち下がりを持つRC回路モデル（またはHodgkin–Huxley簡略版）です。
◉ 膜電位の変化（単純モデル）：
$$
\frac{dV}{dt} = -\frac{1}{\tau} (V - V_{\text{rest}}) + \frac{I(t)}{C}
$$
- $V(t)$：膜電位 [mV]
- $V_{\text{rest}}$：静止電位（例：−70 mV）
- $\tau = RC$：膜時定数（時間応答の速さ）
- $I(t)$：外部入力電流
- $C$：膜容量
◉ スパイク的応答の模式：
活動電位（アクションポテンシャル）は以下のような形状を持つ：
- 脱分極：Na⁺流入により膜電位が急上昇
- 再分極：K⁺流出により低下
- 過分極：静止電位より一時的に低下
より精密には Hodgkin-Huxley モデルや Izhikevich モデルで再現される。
☢️ 放射性同位体の崩壊（半減期）
◉ 放射性崩壊の一次反応モデル：
$$
\frac{dN}{dt} = -\lambda N
$$
- $N(t)$：時刻 $t$ における放射性原子の個数
- $\lambda$：崩壊定数（単位：1/time）
◉ 解析解：
$$
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
$$
- $N_0$：初期の原子数
◉ 半減期（half-life）との関係：
$$
T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}
$$
🗿 放射性炭素年代測定（Carbon Dating）
^14C の崩壊を用いて、過去の有機物の年代を推定。
◉ 基本式：
$$
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
\quad \Rightarrow \quad
t = \frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{N_0}{N(t)} \right)
$$
- $N_0$：生きていたときの ^14C 濃度（現在の空気中基準）
- $N(t)$：現在検出される ^14C 濃度
- $t$：死亡からの経過時間（年代）
◉ 代表値：
- ^14C の半減期：
$$
T_{1/2} \approx 5730 , \text{years} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{5730}
$$
🧬 生存曲線に関する数式・モデルまとめ
1. 基本定義：生存関数
$$
S(t) = P(T > t)
$$
- $S(t)$：時刻 $t$ において生存している確率
- $T$：死亡時刻を表す確率変数
2. 累積死亡関数
$$
F(t) = 1 - S(t)
$$
- 累積で死亡した個体の割合を示す関数
3. ハザード関数（瞬間死亡率）
$$
h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \leq T < t + \Delta t \mid T \geq t)}{\Delta t}
= \frac{f(t)}{S(t)}
$$
- $f(t)$：生存時間の確率密度関数
- $h(t)$：時刻 $t$ に死亡する条件付き確率密度
4. 指数型生存曲線（タイプII）
$$
S(t) = e^{-\lambda t}
$$
- 年齢にかかわらず一定の死亡率（例：鳥類、ネズミなど）
5. ワイブル（Weibull）分布による生存曲線
$$
S(t) = e^{-(\lambda t)^k}
$$
- $k < 1$：初期死亡率が高い（タイプIII）
- $k = 1$：定率死亡（タイプII）
- $k > 1$：老化により死亡率が上昇（タイプI）
6. タイプ別分類
| タイプ | 説明 | 生物例 | 数学モデル |
|---|---|---|---|
| タイプI | 高齢で急激に死亡 | ヒト、ゾウ | Weibull ($k>1$) |
| タイプII | 一定の死亡率 | 鳥類、爬虫類 | Exponential |
| タイプIII | 幼少期に高い死亡率 | 貝、魚、昆虫など | Weibull ($k<1$) |
1. ファントホッフの法則（浸透圧 π の定義）
$$
\pi = i C R T
$$
- $\pi$：浸透圧 [Pa]
- $i$：電離係数（例：NaCl → 2）
- $C$：溶質濃度 [mol/L]
- $R$：気体定数 ≈ 8.31 [J/(mol·K)]
- $T$：温度 [K]
2. 水の移動速度（流束）のモデル式（スターリングの法則に類似）
$$
\frac{dV}{dt} = A \cdot L_p \cdot (\Delta \pi - \Delta P)
$$
- $\frac{dV}{dt}$：単位時間あたりの水の移動量
- $A$：膜面積
- $L_p$：透水係数（膜の通水性）
- $\Delta \pi$：浸透圧差
- $\Delta P$：静水圧差（血圧や外圧）