本稿は，拙著 null合体演算子 ?? の優先順位と結合規則 の最後に出題した演習問題の解答である．
問題
(a ?? b) ?? c と a ?? (b ?? c) の演算結果は同じか．同じであれば証明し，そうでなければ反例を挙げよ．
解答
(a ?? b) ?? c と a ?? (b ?? c) の演算結果は同じである．以下，その証明を述べる．
方針
a と b のそれぞれがnullか否かで場合分けして考える．
証明
a がnullでないとき
\begin{align}
(a\ ??\ b)\ ??\ c
&=a\ ??\ c & (\because a\neq\text{null}よりa\ ??\ b=a) \\
&=a & (\because a\neq\text{null})
\end{align}
であり，さらに
\begin{align}
a\ ??\ (b\ ??\ c)&=a & (\because a\neq\text{null})
\end{align}
となる．
a がnullであり，かつ b がnullであるとき
\begin{align}
(a\ ??\ b)\ ??\ c
&=b\ ??\ c & (\because a=\text{null}よりa\ ??\ b=b) \\
&=c & (\because b=\text{null})
\end{align}
であり，さらに
\begin{align}
a\ ??\ (b\ ??\ c)
&=a\ ??\ c & (\because b=\text{null}よりb\ ??\ c=c) \\
&=c & (\because a=\text{null})
\end{align}
となる．
a がnullであり，かつ b がnullでないとき
\begin{align}
(a\ ??\ b)\ ??\ c
&=b\ ??\ c & (\because a=\text{null}よりa\ ??\ b=b) \\
&=b & (\because b\neq\text{null})
\end{align}
であり，さらに
\begin{align}
a\ ??\ (b\ ??\ c)
&=a\ ??\ b & (\because b\neq\text{null}よりb\ ??\ c=b) \\
&=b & (\because a=\text{null})
\end{align}
となる．
以上より，(a ?? b) ?? c と a ?? (b ?? c) の演算結果は常に同じである．