概要

たまたま見かけた以下の図が気に入ったので，黄緑色，水色の線の長さがそれぞれ $\frac{x+y}{2}, \sqrt{xy}$ であることの証明をメモとして残す¹．

【相加平均と相乗平均】 pic.twitter.com/fks6AgIQMV
— 数学を愛する会 (@mathlava) August 26, 2019

証明

黄緑色の線

図の半円の直径は $x+y$ であるから，半径にあたる黄緑色の線の長さは $\frac{x+y}{2}$ である．

水色の線

図において半円の直径を $\mathrm{AB}$ とし，$\mathrm{AB}$ を斜辺とする直角三角形のもう1つの頂点を $\mathrm{C}$ とする．そして，頂点 $\mathrm{C}$ から辺 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線と辺 $\mathrm{AB}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする．いま $\mathrm{AH}=x, \mathrm{BH}=y$ である．
三角形 $\mathrm{ACH}$ において，三平方の定理より $x^2+\mathrm{CH}^2=\mathrm{AC}^2$ である．また，三角形 $\mathrm{BCH}$ において，三平方の定理より $y^2+\mathrm{CH}^2=\mathrm{BC}^2$ である．よって，三角形 $\mathrm{ABC}$ において，三平方の定理より

(x+y)^2=\mathrm{AB}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2=(x^2+\mathrm{CH}^2)+(y^2+\mathrm{CH}^2)=x^2+y^2+2\mathrm{CH}^2

となる．従って

\mathrm{CH}^2=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}=\frac{2xy}{2}=xy

であるから，$\mathrm{CH}>0$ より $\mathrm{CH}=\sqrt{xy}$ が得られる．

Qiita の数式機能のテストも兼ねている． ↩